Calcule as seguintes integrais

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de funções trigonométricas no intervalo de 0 a π. O conteúdo é integração de funções do tipo coseno e seno, e vamos precisar conhecer as antiderivadas básicas: ∫cos(aθ)dθ e ∫sin(θ)dθ.

Passo 2

Primeiro, separamos a integral dada em duas integrais mais simples e extraímos constantes:
integral0^pil(4cosl(tfrac5pitheta12r)-3sin(theta)r)dtheta = 4integral0^picosl(tfrac5pitheta12r)dtheta - 3integral0^pisin(theta)dtheta

Passo 3

Agora, aplicamos as antiderivadas:
integralcosl(tfrac5pitheta12r)dtheta = 1(5pi/12)sinl(tfrac5pitheta12r) = 125pisinl(tfrac5pitheta12r),
integralsin(theta)dtheta = -cos(theta)
Multiplicando pelos fatores externos, obtemos a primitiva geral:
4cdot125pisinl(tfrac5pitheta12r) -3l(-cos(theta)r) = 485pisinl(tfrac5pitheta12r)+3cos(theta)

Passo 4

Em seguida, avaliamos essa expressão de 0 a π:
$$\left[\frac{48}{5\pi}\sin\bigl(\tfrac{5\pi\theta}{12}\bigr)+3\cos(\theta)\right]_{0}^{\pi}.
$$
No limite superior θ=π temos sin(5π²/12) e cos(π)=–1. No limite inferior θ=0 temos sin(0)=0 e cos(0)=1.

Passo 5

Agora subtraímos os valores:
485pisinl(tfrac5pi^212r)+3(-1);-l(485picdot0+3cdot1r) = 485pisinl(tfrac5pi^212r)-3 -3 = 485pisinl(tfrac5pi^212r)-6

Resposta

485pisinl(tfrac5pi^212r)-6

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