Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida de funções trigonométricas no intervalo de 0 a π. O conteúdo é integração de funções do tipo coseno e seno, e vamos precisar conhecer as antiderivadas básicas: ∫cos(aθ)dθ e ∫sin(θ)dθ.
Passo 2
Primeiro, separamos a integral dada em duas integrais mais simples e extraímos constantes:
Passo 3
Agora, aplicamos as antiderivadas:
Multiplicando pelos fatores externos, obtemos a primitiva geral:
Passo 4
Em seguida, avaliamos essa expressão de 0 a π:
$$\left[\frac{48}{5\pi}\sin\bigl(\tfrac{5\pi\theta}{12}\bigr)+3\cos(\theta)\right]_{0}^{\pi}.
$$
No limite superior θ=π temos sin(5π²/12) e cos(π)=–1. No limite inferior θ=0 temos sin(0)=0 e cos(0)=1.
No limite superior θ=π temos sin(5π²/12) e cos(π)=–1. No limite inferior θ=0 temos sin(0)=0 e cos(0)=1.
Passo 5
Agora subtraímos os valores: