Nos exercícios 06 a 14, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.
06. Cubo de aresta .
07. Esfera de raio .
08. Sólido do primeiro octante, delimitado pelos planos coordenados, pelo cilindro e pelo plano .
09. Sólido do primeiro octante, delimitado pelos planos e pelo cilindro .
10. Sólido interior ao cilindro , sendo delimitado pela esfera e pelo plano .
11. Sólido interseção dos paraboloides e .
12. Sólido contido no cone com o paraboloide , interior a este.
14. Sólido contido no cone e raio 2 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o volume de um cubo com aresta usando integração tripla. Aqui, a gente vai mexer com cálculo integral múltiplo, especificamente a integração tripla, que é uma ferramenta poderosa para encontrar volumes de sólidos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como está posicionado o cubo no espaço. Vamos supor que o cubo está alinhado com os eixos coordenados, com um vértice na origem e o vértice oposto em . Isso significa que as coordenadas , e variam de 0 a .
Passo 3
Agora, precisamos configurar nossa integral tripla para calcular o volume. A ideia é integrar a função constante 1 sobre todo o volume do cubo. Assim, a integral fica assim:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de 0 a , depois em relação a de 0 a , e por último em relação a de 0 a .
Passo 4
Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos 1 em relação a :
Agora, substituímos esse resultado na próxima integral:
integral0^a a , dy = a cdot y g|0^a = a cdot a - a cdot 0 = a^2
Por fim, integramos em relação a x:
integral0^a a^2 , dx = a^2 cdot x g|0^a = a^2 cdot a - a^2 cdot 0 = a^3