Calcule as seguintes integrais:
integral0^+infty x arctan (x)(1+x^2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
I = integral0^+infty x,arctan(x)l(1+x^2r)^2,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, seguida de uma integral racional simples que se resolve por substituição trigonométrica.

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u = arctan(x), dv = x(1+x^2)^2,dx
Então
du = 11+x^2,dx
e precisamos achar
v = integral x(1+x^2)^2,dx
Fazendo a troca t = 1+x^2, dt = 2x,dx, obtemos
v = integral x(1+x^2)^2,dx = integral 12,t^-2,dt = -12,t = -12(1+x^2)

Passo 3

Pela fórmula de partes,
I = l[u,vr]0^infty - integral0^infty v,du
No limite xtoinfty, temos arctan(x)topi2 e vto0, logo u,vl|infty=0. Em x=0, arctan(0)=0 e v=-tfrac12, logo u,vl|0=0. Portanto o termo de contorno é zero e
I = -integral0^infty l(-12(1+x^2)r),11+x^2,dx = 12integral0^inftydx(1+x^2)^2

Passo 4

Resta calcular
J = integral0^inftydx(1+x^2)^2
Usamos a substituição trigonométrica x=tan t, com dx=sec^2t,dt e 1+x^2=sec^2t. Quando x vai de 0 a +infty, t vai de 0 a tfracpi2. Assim
J = integral0^pi2 sec^2tsec^4t,dt = integral0^pi2cos^2t,dt = 12integral0^pi2l(1+cos(2t)r),dt = 12l[;t + tfrac12sin(2t)r]0^pi2 = pi4

Passo 5

Substituindo em I, obtemos
I = 12,J = 12cdotpi4 = pi8

Resposta

pi8

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