Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
O conteúdo principal aqui é integração por partes, seguida de uma integral racional simples que se resolve por substituição trigonométrica.
Passo 2
Aplicamos integração por partes escolhendo
Então
e precisamos achar
Fazendo a troca
,
, obtemos
Passo 3
Pela fórmula de partes,
No limite
, temos
e
, logo
. Em
x=0 ,
arctan(0)=0 e
v=-tfrac12 , logo
u,vl|0=0 . Portanto o termo de contorno é zero e
Passo 4
Resta calcular
Usamos a substituição trigonométrica
x=tan t , com
dx=sec^2t,dt e
1+x^2=sec^2t . Quando
x vai de
0 a
+infty ,
t vai de
0 a
tfracpi2 . Assim
Passo 5
Substituindo em
I , obtemos