Calcule as seguintes integrais:
integral0^+infty d zz^2+3 z+2

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral imprópria
integral0^+inftydzz^2+3z+2
O conteúdo aqui é integração de função racional imprópria, e vamos precisar fatorar o denominador, usar frações parciais e depois avaliar o limite no infinito.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
z^2+3z+2=(z+1)(z+2)
Agora escrevemos a decomposição em frações parciais:
1(z+1)(z+2)=Az+1+Bz+2
Multiplicando ambos os lados por (z+1)(z+2) obtemos
1 = A(z+2)+B(z+1)
Escolhendo z=-1 1=A(1)Rightarrow A=1. Escolhendo z=-2 1=B(-1)Rightarrow B=-1.
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1z^2+3z+2=1z+1-1z+2

Passo 3

Substituindo na integral e integrando termo a termo, temos para um limite superior R:
integral0^Rl(1z+1-1z+2r)dz =l[ln(z+1)-ln(z+2)r]0^R
Isso vale
ln!l(R+1r)-ln!l(R+2r);-;l(ln1-ln2r) =ln!R+1R+2+ln2
Agora tomamos o limite Rto+infty. Como
lnR+1R+2toln1=0, resta
ln2.

Resposta

ln 2

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