Calcule as seguintes integrais.
(A) (10 pontos)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de duas integrais:
integral tan(x),dx e integral xraiz9 - x^2,dx
Vamos usar substituição simples e, no primeiro caso, a identidade tan(x)=sin(x)cos(x).

Passo 2

Para integral tan(x),dx reescrevemos
tan(x)=sin(x)cos(x),
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integral tan(x),dx =integral sin(x)cos(x),dx
Fazemos a substituição
u=cos(x), du=-sin(x),dx,
de modo que
integral sin(x)cos(x),dx =-integral duu

Passo 3

Integrando -integral duu obtemos
-lnl|ur|+C
e voltando a x
integral tan(x),dx = -lnl|cos(x)r| + C

Passo 4

Agora em integral xraiz9 - x^2,dx fazemos a substituição
u = 9 - x^2, du = -2x,dx,
ou seja x,dx = -tfrac12,du. A integral vira
integral xraiz9 - x^2,dx =-12integral u^tfrac12,du

Passo 5

Integrando -tfrac12integral u^1/2,du resulta
-12cdot 23u^3/2 + C =-13u^3/2 + C
Substituindo u=9-x^2 temos
integral xraiz9 - x^2,dx =-13(9 - x^2)^3/2 + C

Resposta

integral tan(x),dx = -lnl|cos(x)r| + C,
integral xraiz9 - x^2,dx = -13(9 - x^2)^3/2 + C

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