Calcule as seguintes integrais:
17) integral 2 x^3-xx^4-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 2x^3-xx^4-x^2,dx
O conteúdo aqui é integração de funções racionais usando decomposição em frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador, decompor a função em parcelas simples e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão racional:
2x^3-xx^4-x^2 =x(2x^2-1)x^2(x^2-1) =2x^2-1x(x^2-1)

Passo 3

Agora fazemos a decomposição em frações parciais:
2x^2-1x(x^2-1) =Ax+Bx-1+Cx+1
Multiplicando ambos os lados por x(x^2-1) obtemos
2x^2-1 =A(x^2-1)+B,x(x+1)+C,x(x-1)

Passo 4

Expandindo o lado direito e agrupando termos em x^2, x e constante:
A(x^2-1)+B,x^2+B,x+C,x^2-C,x =(A+B+C)x^2+(B-C)x -A
Igualando coeficientes a 2x^2+0x-1, vem o sistema
A+B+C=2, B-C=0, -A=-1,
cuja solução é
A=1, B=tfrac12, C=tfrac12
Logo
2x^2-1x(x^2-1) =1x+1/2x-1+1/2x+1

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral 1x,dx +12integral 1x-1,dx +12integral 1x+1,dx =lnl|xr| +tfrac12lnl|x-1r| +tfrac12lnl|x+1r| + C
Podemos combinar os dois últimos logs em tfrac12lnl|(x-1)(x+1)r| = tfrac12ln|x^2-1|.

Resposta

boxed integral 2x^3-xx^4-x^2,dx =lnl|xr| +tfrac12lnl|x^2-1r| + C

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