Exercício 2.4.1. Mostre que:
integral d x3+raizx=2 raizx-6 ln |3+raizx|+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral dx3+raizx
O conteúdo principal aqui é mudança de variável (substituição) para eliminar a raiz, e em seguida decomposição de fração para integrar uma função racional simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = raizx, x = u^2, dx = 2u,du
Substituindo em integral dx3+raizx obtemos
integral dx3+raizx = integral 2u,du3+u

Passo 3

Para integrar integral 2u3+u,du fazemos a divisão algébrica:
2u3+u =2;u+3-33+u =2l(1-33+ur) =2-63+u
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integral 2u3+u,du = integral l(2 - 63+ur)du

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral 2,du = 2u, integral 63+u,du = 6lnl|3+ur|
Portanto
integral l(2 - 63+ur)du =2u - 6lnl|3+ur| + C

Passo 5

Voltando à variável original x, em que u=raizx, temos
integral dx3+raizx =2raizx - 6lnl|3+raizxr| + C

Resposta

integral dx3+raizx =2raizx - 6lnl|3+raizxr| + C

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