Calcule as seguintes integrais:
19) integral 9 x^2+6 x-6(x^3+x^2-2 x)^6 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 9x^2+6x-6l(x^3+x^2-2xr)^6,dx
O conteúdo principal é a técnica de substituição (regra da cadeia invertida), pois o denominador é uma função cuja derivada aparece no numerador.

Passo 2

Definimos
u = x^3+x^2-2x
e calculamos sua derivada:
dudx = 3x^2+2x-2
Também note que
9x^2+6x-6 = 3,(3x^2+2x-2)

Passo 3

A substituição leva a
du = l(3x^2+2x-2r),dx
e multiplicando por 3
3,du = (9x^2+6x-6),dx
Logo a integral original se transforma em
integral 9x^2+6x-6(x^3+x^2-2x)^6,dx = integral 3,duu^6 = 3integral u^-6,du

Passo 4

Integrando em u:
3integral u^-6,du =3cdotu^-5-5+C =-35,u^-5+C
Retornando a x pelo fato de u=x^3+x^2-2x, obtemos
-35,(x^3+x^2-2x)^-5+C

Resposta

-35(x^3+x^2-2x)^5 + C

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