Exercício 2.3.2. Resolva as integrais:
Ic=integral x^3+x-1(x^2+2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
Ic=integral x^3+x-1l(x^2+2r)^2,dx
O conteúdo é integração de função racional. Vamos usar divisão do numerador para separar termos que permitam substituição simples ( u=x^2+2) e depois aplicar fórmulas conhecidas para integral dx/(x^2+a^2)^2.

Passo 2

Escrevemos o numerador como
x^3+x-1 = x,(x^2+2);-;2x;-;1
Assim,
x^3+x-1(x^2+2)^2 =x,(x^2+2)(x^2+2)^2 ;+;-2x(x^2+2)^2 ;+;-1(x^2+2)^2,
ou seja,
Ic =integral xx^2+2,dx ;+;integral -2x(x^2+2)^2,dx ;+;integral -1(x^2+2)^2,dx

Passo 3

Para integral xx^2+2,dx, faça u=x^2+2, du=2x,dx. Então
integral xx^2+2,dx =12integral duu =12lnl(x^2+2r)

Passo 4

Para integral -2x(x^2+2)^2,dx, use a mesma substituição u=x^2+2, du=2x,dx. Então
integral -2x(x^2+2)^2,dx =integral -duu^2 =1u =1x^2+2

Passo 5

Para integral -1(x^2+2)^2,dx, usamos a fórmula
integral dx(x^2+a^2)^2 =x2a^2(x^2+a^2) +12a^3arctan!l(x/ar)
Aqui a^2=2, a=raiz2. Logo
integral -1(x^2+2)^2,dx =-gl[x2cdot2,(x^2+2) +12(raiz2)^3arctan!l(tfracxraiz2r)gr] =-x4(x^2+2) -14raiz2arctan!l(tfracxraiz2r)

Passo 6

Somando os resultados:
Ic =12lnl(x^2+2r) +1x^2+2 -x4(x^2+2) -14raiz2arctan!l(tfracxraiz2r) +C
Opcionalmente, combine os dois termos racionais sobre x^2+2:
1x^2+2-x4(x^2+2) =4-x4(x^2+2)

Resposta

Ic =12lnl(x^2+2r) +4-x4(x^2+2) -14raiz2arctan!l(tfracxraiz2r) +C

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