Exercício 2.3.2. Resolva as integrais:
Ib=integral x^3+1x(x-1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
Ib = integral x^3 + 1x,(x-1)^2,dx
O conteúdo aqui é integração de função racional. Quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, primeiro fazemos a divisão polinomial para obter uma parte polinômica e depois aplicamos a decomposição em frações parciais na parte racional residual.

Passo 2

Dividimos o numerador pelo denominador:
x^3+1x,(x-1)^2 =1 ;+;2x^2 - x +1x,(x-1)^2
Isso porque
x^3+1 = l[x,(x-1)^2r]cdot1 + (2x^2 - x +1)

Passo 3

Agora decompomos a fração residual em
2x^2 - x +1x,(x-1)^2 =Ax + Bx-1 + C(x-1)^2
Multiplicando por x,(x-1)^2 e igualando coeficientes em
2x^2 - x +1 = A(x-1)^2 + B,x(x-1) + C,x
obtém-se
A=1, B=1, C=2
Logo
2x^2 - x +1x,(x-1)^2 =1x + 1x-1 + 2(x-1)^2

Passo 4

Integramos termo a termo:
Ib = integral 1,dx + integral1x,dx + integral1x-1,dx + integral2(x-1)^2,dx
Isso dá
x + lnl|xr| + lnl|x-1r| + 2integral (x-1)^-2dx = x + lnl|xr| + lnl|x-1r| - 2x-1 + C

Resposta

boxedIb = x + ln!l|xr| + ln!l|x-1r| ;-;2x-1 + C

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