Determine as soluções gerais das seguintes equações:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=e^x ;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = e^x
O conteúdo usado será: (i) encontrar a solução geral da equação homogênea associada e (ii) obter uma solução particular via o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
yh'' + 3yh' + 2yh = 0,
cuja equação característica é
r^2 + 3r + 2 = 0
Resolvendo, temos
r = -1 ou r = -2
Logo a solução geral homogênea é
yh(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x

Passo 3

Buscamos uma solução particular yp do tipo A e^x, pois o termo no lado direito é e^x. Substituindo yp = A e^x na equação original:
yp' = A e^x, yp'' = A e^x,
logo
A e^x + 3A e^x + 2A e^x = e^x Longrightarrow 6A e^x = e^x Longrightarrow A = tfrac16
Assim
yp(x) = 16 e^x

Passo 4

A solução geral da equação inhomogênea é a soma da componente homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x)

Resposta

y(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x + 16e^x

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