Calcule as seguintes integrais
(1.3pt) integral(x^2+2) cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral (x^2 + 2)cos x,dx
O conteúdo principal é integração por partes, pois temos um polinômio multiplicando cos x. Vamos separar em duas integrais e aplicar partes onde for necessário.

Passo 2

Separamos
integral (x^2 + 2)cos x,dx = integral x^2cos x,dx ;+; integral 2cos x,dx
A segunda é direta:
integral 2cos x,dx = 2sin x + C1

Passo 3

Para
integral x^2cos x,dx, tomamos em uma primeira integração por partes
u = x^2, dv = cos x,dx Longrightarrow du = 2x,dx, v = sin x
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integral x^2cos x,dx = x^2sin x - integral 2xsin x,dx

Passo 4

Focamos em
integral 2xsin x,dx = 2integral xsin x,dx.
Aplicamos partes de novo com
u = x, dv = sin x,dx Longrightarrow du = dx, v = -cos x,
de onde
integral xsin x,dx = -xcos x + integral cos x,dx = -xcos x + sin x + C2
Multiplicando por 2:
2integral xsin x,dx = -2xcos x + 2sin x + C3

Passo 5

Substituindo de volta em integral x^2cos x,dx:
integral x^2cos x,dx = x^2sin x - l(-2xcos x + 2sin xr) = x^2sin x + 2xcos x - 2sin x + C4

Passo 6

Agora somamos com a parte integral 2cos x,dx:
integral (x^2+2)cos x,dx = l(x^2sin x + 2xcos x - 2sin xr) + 2sin x + C = x^2sin x + 2xcos x + C

Resposta

integral (x^2 + 2)cos x,dx = x^2sin x + 2xcos x + C

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