5.4N Efetuando as substituições indicadas, determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
y(y^prime)^2+(x-y) y^prime=x ; z=y^prime

Passo 1

O enunciado é a equação diferencial implícita
y,(y')^2 ;+;(x - y),y' ;=; x
e sugerem a substituição ,z = y'.
Isso transforma em uma equação algébrica em x,y,z:
y,z^2 + (x - y),z = x
O que vamos usar é fatoração dessa expressão e, em cada fator, resolver a correspondente equação diferencial.

Passo 2

Reescrevendo tudo num só membro e agrupando termos, temos
y,z^2 + x,z - y,z - x = 0
Agrupando (y,z^2-y,z) e (x,z - x) e depois fatorando, obtemos
y,z,(z-1);+;x,(z-1) = 0 Longrightarrow (z-1),(y,z + x) = 0

Passo 3

Do fator ,z-1=0 segue
z = 1 Longrightarrow y' = 1
Integrando em x,
integral dy = integral 1,dx Longrightarrow y = x + C1

Passo 4

Do outro fator ,y,z + x = 0 vem
y,z = -x Longrightarrow y';=;dydx ;=; -xy
É uma equação separável:
y,dy = -x,dx Longrightarrow integral y,dy = -integral x,dx ;Longrightarrow; y^22 = -x^22 + C2
Multiplicando por 2,
x^2 + y^2 = C2

Resposta

A solução geral da equação é dada pelas duas famílias:
boxedy = x + C1 e boxedx^2 + y^2 = C2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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