5.4N Efetuando as substituições indicadas, determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado é a equação diferencial implícita
e sugerem a substituição
.
Isso transforma em uma equação algébrica em :
Isso transforma em uma equação algébrica em
O que vamos usar é fatoração dessa expressão e, em cada fator, resolver a correspondente equação diferencial.
Passo 2
Reescrevendo tudo num só membro e agrupando termos, temos
Agrupando
e
e depois fatorando, obtemos
Passo 3
Do fator
segue
Integrando em
,
Passo 4
Do outro fator
vem
É uma equação separável:
Multiplicando por
,
Resposta
A solução geral da equação é dada pelas duas famílias:
onde
e
são constantes arbitrárias.