Encontre a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função f(x, y) dada, no ponto P dado.
f(x, y)=x^2+1, P=(0,0,1)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função f(x,y)=x^2+1 no ponto P=(0,0,1). O conteúdo envolve derivadas parciais para obter o plano tangente e a construção do vetor normal para escrever a reta normal.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=partialpartial x(x^2+1)=2x, fy(x,y)=partialpartial y(x^2+1)=0

Passo 3

No ponto P=(0,0,1) temos
fx(0,0)=2cdot0=0, fy(0,0)=0
A fórmula do plano tangente a z=f(x,y) em (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0)
Substituindo (x0,y0,z0)=(0,0,1) e as derivadas:
z - 1 = 0,(x-0) + 0,(y-0),
logo o plano tangente é
z = 1

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente é
n = l(-fx(0,0),,-fy(0,0),,1r) = (0,0,1)
Assim, a reta normal que passa por P e tem direção n pode ser escrita em forma paramétrica:
x = 0, y = 0, z = 1 + t, tinR

Resposta

Plano tangente: z = 1
Reta normal: (x,y,z) = (0,0,1) + t,(0,0,1), tinR

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