Calcule as seguintes integrais:
50) integral sec ^2(x) cdot sen^2(1+tg(x)) cdot cos (1+tg(x)) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sec^2(x),sin^2l(1+tan(x)r),cosl(1+tan(x)r),dx.
O truque aqui é notar que a derivada de tan(x) é sec^2(x), então vamos usar substituição para simplificar essa composição.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = 1 + tan(x),
temos
du = sec^2(x),dx
Assim, a integral original em x vira em u:
integral sin^2(u),cos(u),du

Passo 3

Para integrar integral sin^2(u),cos(u),du, usamos uma segunda substituição:
v = sin(u), dv = cos(u),du
A integral transforma-se em
integral v^2,dv = v^33 + C

Passo 4

Voltando em etapas, temos v = sin(u) e u = 1 + tan(x). Portanto o resultado em função de x é
sin^3l(1+tan(x)r)3 + C

Resposta

sin^3l(1+tan(x)r)3 + C

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