Exercício 3.6.3. Determine:
d yd x, se y=integral1+3 x^2^4 d t2+e^t

Passo 1

O enunciado pede para determinar dydx para
y = integral1+3x^2^4 dt2+e^t
O conteúdo aqui é o uso do Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites que dependem de x.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo com limite inferior variável, se
y(x)=integrala(x)^b f(t),dt,
então
dydx = -,fl(a(x)r),a'(x),
pois o limite superior b é constante e o sinal negativo aparece por ser o limite inferior.

Passo 3

Aqui temos
f(t)=12+e^t, a(x)=1+3x^2
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fl(a(x)r) =12+e^,1+3x^2 e a'(x)=ddx(1+3x^2)=6x

Passo 4

Substituindo em
dydx=-f(a(x)),a'(x), obtemos
dydx =-12+e^,1+3x^2,cdot6x =-6x2+e^,1+3x^2

Resposta

dydx = -6x2+e^,1+3x^2

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