Exercício 3.6.2. Mostre que:
If=integral-3^4|x+2| d x=372.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral
If = integral-3^4 lvert x + 2rvert ,dx
O conteúdo aqui é integração de valor absoluto, e para resolver vamos usar a definição de função por partes e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Identificamos o ponto em que o argumento muda de sinal:
Logo, partimos a integral em dois intervalos: de e de a .

Passo 3

Calculamos
integral-3^-2 lvert x+2rvert ,dx = integral-3^-2 l[-(x+2)r],dx = integral-3^-2 (-x-2),dx
Uma antiderivada de -x-2 é
F(x) = -x^22 - 2x
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral-3^-2(-x-2),dx = F(-2) - F(-3)
Calculando
F(-2) = -(-2)^22 - 2(-2) = -2 + 4 = 2, F(-3) = -(-3)^22 - 2(-3) = -92 + 6 = 32,
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integral-3^-2lvert x+2rvert,dx = 2 - 32 = 12

Passo 4

Agora calculamos
integral-2^4 lvert x+2rvert ,dx = integral-2^4 (x+2),dx
Uma antiderivada de x+2 é
G(x) = x^22 + 2x
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
integral-2^4(x+2),dx = G(4) - G(-2)
Calculando
G(4) = 4^22 + 2cdot4 = 8 + 8 = 16, G(-2) = (-2)^22 + 2(-2) = 2 - 4 = -2,
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integral-2^4lvert x+2rvert,dx = 16 - (-2) = 18

Passo 5

Somando as duas parcelas:
If = integral-3^-2lvert x+2rvert,dx + integral-2^4lvert x+2rvert,dx = 12 + 18 = 372

Resposta

If = 372

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