Calcule as seguintes integrais:
52) integral x(x^2+1) raiz4-2 x^2-x^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral xl(x^2+1r)raiz4-2x^2-x^4;dx
O conteúdo é integração por substituição, pois vemos x(x^2+1) multiplicando uma raiz que pode ser reescrita em função de x^2+1.

Passo 2

Reescrevemos o radicando em termos de (x^2+1):
(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 Longrightarrow 5 - (x^2+1)^2 = 5 - x^4 - 2x^2 - 1 = 4 - 2x^2 - x^4
Logo
raiz4 - 2x^2 - x^4 = raiz5 - (x^2+1)^2

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x^2 + 1 Longrightarrow du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Então o integrando se transforma em
x(x^2+1)raiz5-(x^2+1)^2,dx = u,raiz5-u^2,du2 = 12integral u,raiz5-u^2,du

Passo 4

Para calcular
integral u,raiz5-u^2,du,
fazemos t = 5 - u^2, de modo que
dt = -2u,du Longrightarrow u,du = -dt2
Assim
integral u,raiz5-u^2,du = integral raizt,l(-tfrac12,dtr) = -tfrac12integral t^1/2dt = -tfrac12cdottfrac23t^3/2+C = -tfrac13t^3/2+C
Multiplicando pelo fator externo 1/2, obtemos
12integral u,raiz5-u^2,du = -16t^3/2+C = -16(5-u^2)^3/2+C

Passo 5

Voltando à variável x com u = x^2+1, temos
5 - u^2 = 5 - (x^2+1)^2 = 4 - 2x^2 - x^4
Portanto a integral original é
integral xl(x^2+1r)raiz4-2x^2-x^4;dx = -16l(4 - 2x^2 - x^4r)^3/2 + C

Resposta

-16l(4 - 2x^2 - x^4r)^3/2 + C

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