Exercício 3.6.3. Determine:
d yd x, se y=integral1^x^2 raiz1+t^4 d t.

Passo 1

O enunciado define a função
y = integral1^x^2 raiz1+t^4,dt
e pede dydx. Esse exercício envolve o Teorema Fundamental do Cálculo (derivada de integral com limite variável) e a regra da cadeia.

Passo 2

Seja
Y(u) = integral1^u raiz1+t^4,dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
Y'(u) = raiz1+u^4

Passo 3

Como y = Y(x^2), aplicamos a regra da cadeia:
dydx = Y'(x^2),ddx(x^2)
Sabemos que ddx(x^2)=2x.

Passo 4

Substituindo u=x^2 em Y'(u)
Y'(x^2)=raiz1+(x^2)^4=raiz1+x^8
Logo,
dydx =raiz1+x^8;cdot2x =2xraiz1+x^8

Resposta

dydx=2xraiz1+x^8

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