Verifique que y1 é solução da equação dada e determine, a partir de y1, outra solução y2 da equação, de forma que o conjunto y1(x), y2(x) seja linearmente independente.
y^prime prime-xx-1 y^prime+1x-1 y=0, y1=x

Passo 1

O enunciado dá a equação
y'' - xx-1,y' + 1x-1,y = 0
e informa que y1(x)=x é uma solução. Vamos primeiro verificar isso e depois, usando o método de redução de ordem, encontrar uma segunda solução y2(x) linearmente independente de y1.

Passo 2

Verificação de que y1(x)=x satisfaz a equação. Calculamos
y1'=1, y1''=0
Substituindo na equação:
0 - xx-1cdot1 + 1x-1cdot x = -xx-1 + xx-1 = 0
Logo, y1(x)=x é mesmo solução.

Passo 3

Colocamos a equação na forma padrão
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0,
onde
p(x) = -xx-1, q(x) = 1x-1

Passo 4

Pelo método de redução de ordem, uma segunda solução é
y2(x) = y1(x),integral e^-integral p(x),dxl(y1(x)r)^2,dx

Passo 5

Calculamos
integral p(x),dx = integral -xx-1,dx = integrall(-1 - 1x-1r),dx = -x - lnlvert x-1rvert

Passo 6

Assim
e^-integral p(x),dx = e^,x + lnlvert x-1rvert = (x-1),e^x

Passo 7

O integrando fica
e^-integral py1^2 = (x-1)e^xx^2 = l(1x-1x^2r)e^x
Note que
integral l(1x-1x^2r)e^x,dx = integral e^xx,dx - integral e^xx^2,dx
e usando integração por partes na segunda integral mostra-se que isso equivale a
e^xx

Passo 8

Portanto
y2(x) = x ,cdot e^xx = e^x
Como o wronskiano de x,e^x é (x-1)e^xneq0 para xneq1, elas são linearmente independentes.

Resposta

A segunda solução é
y2(x)=e^x,
e o conjunto y1,y2=x,e^x é linearmente independente.

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