Verifique que
é solução da equação dada e determine, a partir de
, outra solução
da equação, de forma que o conjunto
seja linearmente independente.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e informa que
é uma solução. Vamos primeiro verificar isso e depois, usando o método de redução de ordem, encontrar uma segunda solução
linearmente independente de
.
Passo 2
Verificação de que
satisfaz a equação. Calculamos
Substituindo na equação:
Logo,
é mesmo solução.
Passo 3
Colocamos a equação na forma padrão
onde
Passo 4
Pelo método de redução de ordem, uma segunda solução é
Passo 5
Calculamos
Passo 6
Assim
Passo 7
O integrando fica
Note que
e usando integração por partes na segunda integral mostra-se que isso equivale a
Passo 8
Portanto
Como o wronskiano de
é
para
, elas são linearmente independentes.
Resposta
A segunda solução é
e o conjunto
é linearmente independente.