Calcule as seguintes integrais:
56) integral raiz1-12 x^2 d xx^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral raiz1-12x^2,dxx^3
O conteúdo é técnica de substituição em integrais envolvendo radicais. Vamos transformar a variável para simplificar o radical.

Passo 2

Façamos a substituição
t = 1x
Então
dt = -dxx^2 Longrightarrow dxx^3 = dxx^2cdot1x = -,t,dt
Além disso,
12x^2 = t^22
Substituindo na integral original, obtemos
integral raiz1-12x^2,dxx^3 = -integral traiz1-t^22,dt

Passo 3

Para resolver
-integral traiz1-t^22,dt,
façamos a segunda substituição
w = 1 - t^22 Longrightarrow dw = -,t,dt
Logo
-integral traiz1-t^22,dt = integral raizw,dw

Passo 4

A integral em w é direta:
integral raizw,dw = integral w^tfrac12,dw = w^tfrac32tfrac32 + C = 23,w^tfrac32 + C

Passo 5

Voltando às variáveis originais, temos
w = 1 - t^22 = 1 - 12x^2,
logo a primitiva é
23l(1 - 12x^2r)^tfrac32 + C

Resposta

boxedintegral raiz1-12x^2,dxx^3 = 23l(1 - 12x^2r)^tfrac32 + C

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