Exercício 3.6.4. Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule:
Ie=integral1^4[x^2-12 raizx+1] d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
Ie=integral1^4l[x^2-12raizx+1r],dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Isso significa que precisamos achar uma antiderivada F(x) do integrando e depois avaliar F(4)-F(1).

Passo 2

Vamos separar a integral em três partes e aplicar a regra do poder para cada uma:
integral x^2,dx, -integral 12raizx,dx, integral 1,dx
  1. Para integral x^2,dx, a regra diz integral x^ndx = tfracx^n+1n+1, logo
integral x^2,dx = x^33
  1. Para integral 12raizx,dx = 12integral x^-1/2dx, aplicamos de novo a regra do poder:
12integral x^-1/2dx = 12cdotx^1/21/2 = x^1/2 = raizx
Como havia um sinal negativo à frente, esse termo vira -raizx.
3. Para integral 1,dx, a antiderivada é simplesmente
integral 1,dx = x

Passo 3

Somando essas partes, uma antiderivada do integrando é
F(x) = x^33 ;-;raizx;+;x

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Ie = F(4) - F(1)

Passo 5

Calculemos F(4) e F(1):
F(4) = 4^33 - raiz4 + 4 = 643 - 2 + 4 = 643 + 2,
F(1) = 1^33 - raiz1 + 1 = 13 - 1 + 1 = 13
Logo
Ie = l(643 + 2r) - 13 = 64-13 + 2 = 633 + 2 = 21 + 2 = 23

Resposta

Ie = 23

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