Calcule as seguintes integrais curvilíneas de primeira espécie.
\int_{C} \frac{d s}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+4}}\, onde \(C é o segmento de reta que une os ponto O(0,0) e A(1,2). (Resposta:
\ln \frac{\sqrt{5}+3}{2})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral curvilínea de primeira espécie
\int_{C} \frac{d s}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+4}},
onde C é o segmento de reta que une os pontos O(0,0) e A(1,2). Informações dadas úteis: os extremos do segmento são (0,0) e (1,2), e a integranda depende de x^{2}+y^{2}+4. A tarefa é transformar a integral sobre a curva numa integral em uma variável (parametrização) e calcular o valor numérico.

Passo 2

Escolhemos uma parametrização simples do segmento: como a reta passa pela origem e por (1,2), uma parametrização linear é
x(t)=t,\qquad y(t)=2t,\qquad 0\le t\le 1.
Isto funciona porque em t=0 obtemos (0,0) e em t=1 obtemos (1,2). Agora calculamos as derivadas em relação a t:
\frac{dx}{dt}=1,\qquad \frac{dy}{dt}=2.

Passo 3

O elemento de comprimento de arco (o d s) para uma curva parametrizada por t é
d s=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt.
Substituindo as derivadas:
d s=\sqrt{1^{2}+2^{2}}\,dt=\sqrt{1+4}\,dt=\sqrt{5}\,dt.

Passo 4

Agora substituímos x(t), y(t) e d s na integral. Primeiro calculemos x^{2}+y^{2}+4 ao longo da parametrização:
x^{2}+y^{2}+4=t^{2}+(2t)^{2}+4=5t^{2}+4.
Portanto a integral fica
\int_{C}\frac{d s}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+4}}=\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{5}\,dt}{\sqrt{5t^{2}+4}}.

Passo 5

Simplificamos a expressão fatorando 5 dentro da raiz:
\sqrt{5t^{2}+4}=\sqrt{5}\sqrt{t^{2}+\frac{4}{5}}.
Assim o integrando reduz-se a
\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{t^{2}+\frac{4}{5}}}=\frac{1}{\sqrt{t^{2}+\frac{4}{5}}}.
Logo a integral é
\int_{0}^{1}\frac{dt}{\sqrt{t^{2}+\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^{2}}}.

Passo 6

Usamos a primitiva conhecida
\int\frac{du}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}=\ln\!\bigl(u+\sqrt{u^{2}+a^{2}}\bigr)+C,
onde a>0. Aplicando com u=t e a=\dfrac{2}{\sqrt{5}}, obtemos a primitiva
F(t)=\ln\!\Bigl(t+\sqrt{t^{2}+\frac{4}{5}}\Bigr).
Avaliada entre 0 e 1:
F(1)-F(0)=\ln\!\Bigl(1+\sqrt{1+\frac{4}{5}}\Bigr)-\ln\!\Bigl(0+\sqrt{\frac{4}{5}}\Bigr).

Passo 7

Calculamos as raízes numéricas simbólicas para simplificar:
1+\frac{4}{5}=\frac{9}{5}\quad\Rightarrow\quad \sqrt{1+\frac{4}{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}.
E
\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Substituindo:
F(1)-F(0)=\ln\!\Bigl(1+\frac{3}{\sqrt{5}}\Bigr)-\ln\!\Bigl(\frac{2}{\sqrt{5}}\Bigr) =\ln\!\left(\frac{1+\frac{3}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}\right).
Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{5} para simplificar a fração:
\frac{1+\frac{3}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}.

Resposta

\ln\frac{\sqrt{5}+3}{2}

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