Calcule as seguintes integrais curvilíneas de primeira espécie.
é o segmento de reta que une os ponto
e
. (Resposta:
)
é o segmento de reta que une os ponto
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral curvilínea de primeira espécie
onde
é o segmento de reta que une os pontos
e
. Informações dadas úteis: os extremos do segmento são
e
, e a integranda depende de
. A tarefa é transformar a integral sobre a curva numa integral em uma variável (parametrização) e calcular o valor numérico.
Passo 2
Escolhemos uma parametrização simples do segmento: como a reta passa pela origem e por
, uma parametrização linear é
Isto funciona porque em
obtemos
e em
obtemos
. Agora calculamos as derivadas em relação a
:
Passo 3
O elemento de comprimento de arco (o
) para uma curva parametrizada por
é
Substituindo as derivadas:
Passo 4
Agora substituímos
,
e
na integral. Primeiro calculemos
ao longo da parametrização:
Portanto a integral fica
Passo 5
Simplificamos a expressão fatorando
dentro da raiz:
Assim o integrando reduz-se a
Logo a integral é
Passo 6
Usamos a primitiva conhecida
onde
. Aplicando com
e
, obtemos a primitiva
Avaliada entre
e
:
Passo 7
Calculamos as raízes numéricas simbólicas para simplificar:
E
Substituindo:
Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar a fração: