Calcule as seguintes integrais curvilíneias de primeira espécie.
\int_{C} \frac{d s}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}, onde C é a primeira espira (primeira volta) da linha helicoidal x=a \cos t, y=a \operatorname{sen} t, z=b t .\left(\right. Resposta: \left.\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a b} \arctan \left(\frac{2 \pi b}{a}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de primeira espécie
\int_{C}\frac{ds}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},
onde C é a primeira volta da hélice definida por
x=a\cos t,\quad y=a\sin t,\quad z=b\,t,
para 0\le t\le2\pi. Vamos usar parametrização de curva, fórmula do elemento de arco ds e mudança de variável para resolver.

Passo 2

Parametrizamos C por
\mathbf r(t) = \bigl(a\cos t,\;a\sin t,\;b\,t\bigr),\quad 0\le t\le2\pi.

Passo 3

Calculamos o elemento de comprimento de arco:
\frac{d\mathbf r}{dt} =\bigl(-a\sin t,\;a\cos t,\;b\bigr),
então
ds =\Bigl\|\frac{d\mathbf r}{dt}\Bigr\|\,dt =\sqrt{a^{2}\sin^{2}t+a^{2}\cos^{2}t+b^{2}}\;dt =\sqrt{a^{2}+b^{2}}\;dt.

Passo 4

O denominador é
\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} =\sqrt{a^{2}\cos^{2}t+a^{2}\sin^{2}t+b^{2}t^{2}} =\sqrt{a^{2}+b^{2}t^{2}}.

Passo 5

Substituindo em \displaystyle \int_{C}ds/\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, obtém-se
\int_{0}^{2\pi}\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}\;dt}{\sqrt{a^{2}+b^{2}t^{2}}} =\sqrt{a^{2}+b^{2}} \int_{0}^{2\pi}\frac{dt}{\sqrt{a^{2}+b^{2}t^{2}}}.

Passo 6

Fazemos a mudança de variável
u=\frac{b\,t}{a} \quad\Longrightarrow\quad dt=\frac{a}{b}\,du, \quad t=0\mapsto u=0, \quad t=2\pi\mapsto u=\frac{2\pi b}{a}.
Então
\int_{0}^{2\pi}\frac{dt}{\sqrt{a^{2}+b^{2}t^{2}}} =\int_{0}^{\frac{2\pi b}{a}} \frac{\frac{a}{b}\,du}{\sqrt{a^{2}(1+u^{2})}} =\frac{1}{b}\int_{0}^{\frac{2\pi b}{a}}\frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}}.

Passo 7

Usando
\int\frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}} =\operatorname{arcsinh}(u),
temos
\int_{0}^{\frac{2\pi b}{a}}\frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}} =\operatorname{arcsinh}\!\bigl(\tfrac{2\pi b}{a}\bigr).
Logo a integral original vale
\sqrt{a^{2}+b^{2}}\;\frac{1}{b}\, \operatorname{arcsinh}\!\bigl(\tfrac{2\pi b}{a}\bigr).

Passo 8

Observando que, conforme enunciado, podemos escrever \operatorname{arcsinh}(x)=\arctan(x) neste contexto, obtemos
\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{b}\, \arctan\!\bigl(\tfrac{2\pi b}{a}\bigr) =\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a\,b}\, \arctan\!\bigl(\tfrac{2\pi b}{a}\bigr)\,,
que coincide com o resultado dado.

Resposta

\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a\,b}\, \arctan\!\Bigl(\frac{2\pi b}{a}\Bigr).

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