Calcule as seguintes integrais definidas:
(a1) integral0^1 x^2 raizx^3+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de x^2raizx^3+1,dx. O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, pois dentro da raiz temos uma função de x cuja derivada aparece multiplicando externamente.

Passo 2

Perceba que se fizermos u = x^3 + 1, então du = 3x^2,dx. Logo podemos isolar x^2,dx em função de du:
x^2,dx = 13,du

Passo 3

Precisamos também trocar os limites de integração: quando x=0, u = 0^3+1 = 1; quando x=1, u = 1^3+1 = 2. Substituindo tudo na integral original, temos:
integral0^1 x^2raizx^3+1,dx = integralu=1^u=2 raizu cdot 13,du = 13integral1^2 u^tfrac12,du

Passo 4

Agora basta integrar u^1/2. Sabemos que
integral u^tfrac12,du = u^tfrac32tfrac32 = 23u^tfrac32

Passo 5

Aplicando na integral com o fator 1/3 e avaliando de 1 a 2, obtemos:
13cdot23u^tfrac32|1^2 = 29l(2^tfrac32 - 1^tfrac32r) = 29l(2raiz2 - 1r)

Resposta

29l(2raiz2 - 1r)

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