Diz-se que uma função u(x, y) é harmônica numa região R se nesta região ela possui derivadas de segunda ordem e satisfaz a seguinte equação, conhecida como equação de Laplace:
De
Seja f(z)=u(x, y)+i v(x, y) uma função analítica numa região R. Pelo Teorema 3.16, f possui derivadas de todas as ordens em R. Como d / d z=partial / partial x=partial / partial(i y), as derivadas sucessivas de f podem ser calculadas derivando repetidamente em relação a x ou em relação a iy. Vemos assim que as funções u(x, y) e v(x, y) possuem derivadas contínuas de todas as ordens em R. Podemos então derivar as equações de Cauchy-Riemann,
ux=vy e uy=-vx

Passo 1

A questão pede para mostrar que, se f(z)=u(x,y)+iv(x,y) é analítica em R, então u(x,y) é harmônica, isto é, satisfaz a equação de Laplace. Vamos usar o fato de que f é C∞ em R e as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

As equações de Cauchy–Riemann garantem que em R temos
u_x = v_y e u_y = -v_x.
Elas ligam as derivadas parciais de u com as de v .

Passo 3

Para achar u_{xx}, derivamos a primeira equação em relação a x. Assim,
u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(u_x) = \frac{\partial}{\partial x}(v_y) = v_{yx}.
Como v é C², a ordem das derivadas não importa, logo u_{xx} = v_{xy}.

Passo 4

Para achar u_{yy}, derivamos a segunda equação em relação a y. Assim,
u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(u_y) = \frac{\partial}{\partial y}(-v_x) = -v_{xy}.

Passo 5

Somando u_{xx} e u_{yy} temos
u_{xx} + u_{yy} = v_{xy} - v_{xy} = 0,
o que é exatamente a equação de Laplace para u. Portanto u é harmônica em R.

Resposta

A função u(x,y) satisfaz u_{xx}+u_{yy}=0 e, portanto, é harmônica em R.

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