Calcule as seguintes integrais definidas:
(d) integral0^1 / 2 e^x raize^x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida I=integral0^1/2e^xraize^x+1,dx. O conteúdo principal é técnica de substituição em integrais, e vamos precisar reconhecer que e^x,dx é a derivada de e^x e, portanto, útil para uma troca de variável.

Passo 2

Vamos usar a substituição u=e^x+1. Então decorremos du=e^x,dx. Quando x=0, temos u=e^0+1=2. Quando x=1/2, temos u=e^1/2+1=raize+1.

Passo 3

Com essa troca, a integral vira em função de u:
I=integralu=2^u=raize+1raizu,du=integral2^raize+1u^1/2,du

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de potência para integrar u^1/2:
integral u^1/2,du=u^3/23/2=23u^3/2

Passo 5

Basta avaliar o resultado nos limites de u:
I=23l[(raize+1)^3/2-2^3/2r] =23l[(raize+1)^3/2-2raiz2r]

Resposta

23l[(raize+1)^3/2-2raiz2r]

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