Em todos os itens abaixo K in R é uma constante de integração.
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(j) integral raizx(1+raizx)^2 d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral indefinida integral raizx(1+raizx)^2,dx. O conteúdo envolve manipulação algébrica e aplicação da regra de potência para integrais.

Passo 2

Primeiro expandimos o quadrado usando a identidade (1+raizx)^2 = 1 + 2raizx + x.
Em seguida multiplicamos pelo raizx e reescrevemos em potências de x: raizx(1+raizx)^2 = x^1/2 + 2x + x^3/2.

Passo 3

A integral vira uma soma de integrais mais simples: integral(x^1/2 + 2x + x^3/2),dx = integral x^1/2,dx + 2integral x,dx + integral x^3/2,dx.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de potência integral x^n,dx = dfracx^n+1n+1 em cada termo, obtendo respectivamente dfrac23x^3/2, x^2 e dfrac25x^5/2.
Por fim, somamos os resultados e adicionamos a constante de integração K.

Resposta

dfrac23x^3/2 + x^2 + dfrac25x^5/2 + K

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