Determine a função F(x) tal que:
(b) F^prime(x)=1x(x^2+1) e F(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma primitiva
F(x) cuja derivada é
F'(x)=1x,(x^2+1)
e que satisfaça a condição inicial F(1)=0. O conteúdo aqui é integração de funções racionais usando frações parciais.

Passo 2

Para usar frações parciais, escrevemos
1x(x^2+1)=Ax+Bx+Cx^2+1
A ideia é achar A, B e C de modo que essa soma seja igual ao integrando original.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x^2+1) obtemos
1=A(x^2+1)+(Bx+C)x=A x^2+A+B x^2+C x=(A+B)x^2+C x+A
Comparando coeficientes de x^2, x e termo constante dá:
A+B=0, C=0, A=1. Logo A=1, B=-1 e C=0.

Passo 4

Substituindo na decomposição, temos
1x(x^2+1)=1x-xx^2+1
Agora integramos termo a termo:
  • integral1xdx=ln|x|+K1.
  • integralxx^2+1dx=12ln(x^2+1)+K2.
Assim uma primitiva geral é
F(x)=ln|x|-12ln(x^2+1)+C

Passo 5

Para determinar C usamos F(1)=0:
0=ln1-12ln2+C=0-12ln2+Cimplies C=12ln2
Portanto a primitiva que atende à condição inicial é

Passo 6

final_answer

Passo 7

F(x)=\ln|x|-\tfrac12\ln(x^2+1)+\tfrac12\ln2

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