Determine a função
tal que:
(b)
e
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para achar uma primitiva
F(x) cuja derivada é
F(x) cuja derivada é
e que satisfaça a condição inicial F(1)=0. O conteúdo aqui é integração de funções racionais usando frações parciais.
Passo 2
Para usar frações parciais, escrevemos
A ideia é achar A, B e C de modo que essa soma seja igual ao integrando original.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por x(x^2+1) obtemos
Comparando coeficientes de x^2, x e termo constante dá:
A+B=0, C=0, A=1. Logo A=1, B=-1 e C=0.
A+B=0, C=0, A=1. Logo A=1, B=-1 e C=0.
Passo 4
Substituindo na decomposição, temos
Agora integramos termo a termo:
-
. -
.
Assim uma primitiva geral é
Passo 5
Para determinar C usamos F(1)=0:
Portanto a primitiva que atende à condição inicial é
Passo 6
final_answer
Passo 7
F(x)=\ln|x|-\tfrac12\ln(x^2+1)+\tfrac12\ln2