Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes fornecidas:
Observação útil: a função
é contínua em
, portanto a integral existe e podemos usar a primitiva para calcular o valor.
Passo 2
Vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de
. Conhecimento chave: a função
(ou
) tem derivada igual a
. Vou mostrar por que isso é verdade, passo a passo, como se tivesse em prova.
Seja
. Por definição de arco-tangente, isso significa que
Diferenciando ambos os lados em relação a
(usando diferenciação implícita), obtemos
Então
Agora usamos a identidade trigonométrica
. Como
, fica
Portanto
Isso prova que uma primitiva de
é
(mais uma constante).
Passo 3
Pelo que acabamos de mostrar, podemos tomar a primitiva
. Em prova, sempre é bom lembrar que primitiva significa
integrando, ou seja,
Passo 4
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2): se
é uma primitiva de
em
, então
Aqui
,
,
,
. Logo
Passo 5
Calculamos os valores das arcotangentes:
porque
, e
porque
. (Aqui usamos medida em radianos, que é a convenção padrão em cálculo.)
Substituindo,