Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Integrando: }\frac{1}{1+x^{2}},\qquad \text{intervalo de integração: }[0,1].çã
Observação útil: a função \frac{1}{1+x^{2}} é contínua em [0,1], portanto a integral existe e podemos usar a primitiva para calcular o valor.

Passo 2

Vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de \frac{1}{1+x^{2}}. Conhecimento chave: a função \arctan x (ou \tan^{-1}x) tem derivada igual a \frac{1}{1+x^{2}}. Vou mostrar por que isso é verdade, passo a passo, como se tivesse em prova.
Seja y=\arctan x. Por definição de arco-tangente, isso significa que
x=\tan y.
Diferenciando ambos os lados em relação a x (usando diferenciação implícita), obtemos
1=\frac{d}{dx}(\tan y)=\operatorname{sec}^{2}y\cdot\frac{dy}{dx}.
Então
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}y}.
Agora usamos a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^{2}y=1+\tan^{2}y. Como \tan y=x, fica
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+\tan^{2}y}=\frac{1}{1+x^{2}}.
Portanto
\frac{d}{dx}\big(\arctan x\big)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Isso prova que uma primitiva de \frac{1}{1+x^{2}} é \arctan x (mais uma constante).

Passo 3

Pelo que acabamos de mostrar, podemos tomar a primitiva F(x)=\arctan x. Em prova, sempre é bom lembrar que primitiva significa F'(x)= integrando, ou seja,
F'(x)=\frac{d}{dx}\big(\arctan x\big)=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 4

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2): se F é uma primitiva de f em [a,b], então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}, F(x)=\arctan x, a=0, b=1. Logo
\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan(1)-\arctan(0).

Passo 5

Calculamos os valores das arcotangentes:
\arctan(1)=\frac{\pi}{4},
porque \tan\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=1, e
\arctan(0)=0,
porque \tan(0)=0. (Aqui usamos medida em radianos, que é a convenção padrão em cálculo.)
Substituindo,
\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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