Sejam
e
constantes não nulas. Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada)
onde
e
são constantes não nulas.
Informações dadas: e
constantes,
é a variável de integração.
Pergunta: encontrar uma expressão tal que
.
Informações dadas:
Pergunta: encontrar uma expressão
Passo 2
Vamos separar a integral em duas partes usando a linearidade da integral. Primeiro escrevo a fração como soma:
Pela linearidade,
Breve explicação (didática): linearidade significa que constants saem da integral e que a integral de soma é soma das integrais — isso facilita dividir em partes fáceis.
Passo 3
Calculo a primeira integral
por substituição. Faço
Substituindo:
Como
para todo
, posso escrever sem valor absoluto:
Explicação didática: reconhecer que o numerador é (proporcional) à derivada do denominador é um padrão comum que leva ao logaritmo.
Passo 4
Calculo a segunda integral
. Conhecemos que a derivada da função
é
. Portanto,
Comentário didático: decorar que a primitiva de
é
é muito útil em integrais racionais com
no denominador.
Passo 5
Juntando os dois resultados pela decomposição do Passo 2:
Ou seja,
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta dá
que é exatamente o integrando — está correto.