Sejam m e n constantes não nulas. Calcule \int \frac{m u+n}{1+u^{2}} d u.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada)
\int \frac{m u+n}{1+u^{2}}\,du,
onde m e n são constantes não nulas.
Informações dadas: m e n constantes, u é a variável de integração.
Pergunta: encontrar uma expressão F(u) tal que F'(u)=\dfrac{m u+n}{1+u^{2}}.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas partes usando a linearidade da integral. Primeiro escrevo a fração como soma:
\frac{m u+n}{1+u^{2}}=m\cdot\frac{u}{1+u^{2}}+n\cdot\frac{1}{1+u^{2}}.
Pela linearidade,
\int \frac{m u+n}{1+u^{2}}\,du = m\int \frac{u}{1+u^{2}}\,du + n\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du.
Breve explicação (didática): linearidade significa que constants saem da integral e que a integral de soma é soma das integrais — isso facilita dividir em partes fáceis.

Passo 3

Calculo a primeira integral \displaystyle \int \frac{u}{1+u^{2}}\,du por substituição. Faço
t=1+u^{2}\quad\Rightarrow\quad dt=2u\,du\quad\Rightarrow\quad u\,du=\frac{1}{2}\,dt.
Substituindo:
\int \frac{u}{1+u^{2}}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{2}\ln|t|+C.
Como t=1+u^{2}>0 para todo u, posso escrever sem valor absoluto:
\int \frac{u}{1+u^{2}}\,du = \frac{1}{2}\ln(1+u^{2})+C.
Explicação didática: reconhecer que o numerador é (proporcional) à derivada do denominador é um padrão comum que leva ao logaritmo.

Passo 4

Calculo a segunda integral \displaystyle \int \frac{1}{1+u^{2}}\,du. Conhecemos que a derivada da função \arctan u é \dfrac{d}{du}\arctan u=\dfrac{1}{1+u^{2}}. Portanto,
\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du = \arctan u + C.
Comentário didático: decorar que a primitiva de \dfrac{1}{1+u^{2}} é \arctan u é muito útil em integrais racionais com 1+u^{2} no denominador.

Passo 5

Juntando os dois resultados pela decomposição do Passo 2:
\int \frac{m u+n}{1+u^{2}}\,du = m\left(\frac{1}{2}\ln(1+u^{2})\right) + n\left(\arctan u\right) + C.
Ou seja,
\int \frac{m u+n}{1+u^{2}}\,du = \frac{m}{2}\ln(1+u^{2}) + n\arctan u + C.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta dá
\frac{d}{du}\!\left(\frac{m}{2}\ln(1+u^{2}) + n\arctan u\right) = \frac{m}{2}\cdot\frac{2u}{1+u^{2}} + n\cdot\frac{1}{1+u^{2}} = \frac{m u+n}{1+u^{2}},
que é exatamente o integrando — está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{m}{2}\ln(1+u^{2}) + n\arctan u + C

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