Exercício 1.3. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_{n}=9^{n} 7^{-n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência \,a_{n}=9^{n}7^{-n}\, converge ou diverge. Se convergir, tenho que encontrar o limite \lim_{n\to\infty} a_n. Informações dadas: a fórmula explícita da sequência é \,a_{n}=9^{n}7^{-n}\, para n inteiro positivo. Não há outras condições fornecidas.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão usando regras de potência. Lembre que, para quaisquer números reais positivos x,y e inteiro n, vale a identidade
x^{n}y^{n}=(xy)^{n}.
Também lembre que y^{-n}=(1/y)^{n}. Aplicando isso a \,9^{n}7^{-n}\, obtemos
a_{n}=9^{n}7^{-n}=(9\cdot 7^{-1})^{n}=\left(\frac{9}{7}\right)^{n}.
Ou seja, a sequência é uma sequência geométrica com razão/base c=\frac{9}{7}.

Passo 3

Calcule o valor da base \frac{9}{7}. Temos
\frac{9}{7}\approx 1,2857\ldots
O ponto importante é que \frac{9}{7}>1.

Passo 4

Agora a parte conceitual: para uma sequência geométrica da forma \,c^{n}\,\) com \(c>0\), existem três casos padrão: \[\begin{cases} \text{se }0<c<1,\; \lim_{n\to\infty}c^{n}=0,\\[4pt] \text{se }c=1,\; \lim_{n\to\infty}c^{n}=1,\\[4pt] \text{se }c>1,\; \lim_{n\to\infty}c^{n}=+\infty. \end{cases}
Uma forma intuitiva de ver o caso c>1\] é notar que \(c^{n}=e^{n\ln c} e, se c>1, então \ln c>0 e n\ln c\to+\infty quando n\to\infty, logo c^{n}\to+\infty. Outra forma simples na prova de prova de prova: se c>1 então cada termo é obtido multiplicando o anterior por c>1, portanto os termos crescem sem limite.]

Passo 5

Aplique o resultado ao nosso caso: como \,a_n=\left(\frac{9}{7}\right)^{n}\, e \frac{9}{7}>1, segue que
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{9}{7}\right)^{n}=+\infty.
Isto significa que a sequência não converge para um número finito — ela diverge e cresce sem limite.

Resposta

A sequência diverge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=+\infty.

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