Exercício 1.3. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
converge ou diverge. Se convergir, tenho que encontrar o limite
. Informações dadas: a fórmula explícita da sequência é
para
inteiro positivo. Não há outras condições fornecidas.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão usando regras de potência. Lembre que, para quaisquer números reais positivos
e inteiro
, vale a identidade
Também lembre que
. Aplicando isso a
obtemos
Ou seja, a sequência é uma sequência geométrica com razão/base
.
Passo 3
Calcule o valor da base
. Temos
O ponto importante é que
.
Passo 4
Agora a parte conceitual: para uma sequência geométrica da forma
Uma forma intuitiva de ver o caso
e, se
, então
e
quando
, logo
. Outra forma simples na prova de prova de prova: se
então cada termo é obtido multiplicando o anterior por
, portanto os termos crescem sem limite.]
Passo 5
Aplique o resultado ao nosso caso: como
e
, segue que
Isto significa que a sequência não converge para um número finito — ela diverge e cresce sem limite.
Resposta
A sequência diverge e
.