Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{e}^{e^{4}} \frac{1}{v \sqrt{\ln v}} d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{e}^{e^{4}} \frac{1}{v \sqrt{\ln v}} \,dv.
O conteúdo principal aqui é usar substituição para transformar essa integral em uma forma mais simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \ln v,
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dt = \frac{1}{v}\,dv \quad\Longrightarrow\quad dv = v\,dt.
Mas como já aparece 1/v no integrando, temos simplesmente
\frac{1}{v}\,dv = dt.
Quando v=e, t=\ln e=1.
Quando v=e^4, t=\ln e^4=4.
A integral passa a ser
\int_{t=1}^{t=4} \frac{1}{\sqrt{t}}\,dt =\int_{1}^{4} t^{-\tfrac12}\,dt.

Passo 3

Integrando t^{-\tfrac12}:
\int t^{-\tfrac12}\,dt =2\,t^{\tfrac12}.
Logo, avaliando de 1 a 4:
2\,\bigl(\sqrt{4}-\sqrt{1}\bigr) =2\,(2-1) =2.

Resposta

2

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