Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{-3}^{3} \frac{x^{3}}{x^{4}+x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-3}^{3} \frac{x^{3}}{x^{4}+x^{2}+1}\,dx.
O conteúdo principal aqui é analisar a paridade da função
f(x) = \frac{x^{3}}{x^{4}+x^{2}+1},
pois, se f for ímpar, a integral em um intervalo simétrico [-a,a] vale zero.

Passo 2

Vamos verificar a paridade de f. Calculamos f(-x):
f(-x) = \frac{(-x)^{3}}{(-x)^{4}+(-x)^{2}+1} = \frac{-x^{3}}{x^{4}+x^{2}+1} = -\,\frac{x^{3}}{x^{4}+x^{2}+1} = -f(x).
Como f(-x) = -f(x), concluímos que f é uma função ímpar.

Passo 3

Para qualquer função ímpar f integrada em [-a,a], vale
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.
Aqui a=3, logo
\int_{-3}^{3} \frac{x^{3}}{x^{4}+x^{2}+1}\,dx = 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados