Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{1}^{3} x \sqrt{x} d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede a integral definida
\displaystyle \int_{1}^{3} x\sqrt{x}\,dx.
O conteúdo é integração de potências de x e vamos usar a regra do poder.

Passo 2

Reescrevendo o integrando como potência de x:
x\sqrt{x} = x\cdot x^{\tfrac12} = x^{\tfrac32}.
Logo a integral fica
\int_{1}^{3} x^{\tfrac32}\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra do poder (ou seja, \int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1)):
\int x^{\tfrac32}\,dx = \frac{x^{\tfrac52}}{\tfrac52} = \frac{2}{5}x^{\tfrac52}.

Passo 4

Agora avaliamos de 1 a 3:
\int_{1}^{3} x^{\tfrac32}\,dx = \left[\frac{2}{5}x^{\tfrac52}\right]_{1}^{3} = \frac{2}{5}\bigl(3^{\tfrac52} - 1^{\tfrac52}\bigr) = \frac{2}{5}\bigl(9\sqrt{3} - 1\bigr).

Resposta

\frac{2}{5}\bigl(9\sqrt{3} - 1\bigr).

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