Calcule as seguintes integrais definidas: \int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
Informações relevantes: o integrando é \frac{x}{1+x^{2}}, o intervalo de integração é [0,1] e o denominador 1+x^{2} é sempre positivo no intervalo (logo não há problemas com logaritmo de número não-positivo).
Passo 2
Observe um padrão útil: a derivada de 1+x^{2} em relação a x é 2x. Vou mostrar isso:
\frac{d}{dx}\big(1+x^{2}\big)=2x.
Esse fato sugere que podemos escrever o numerador x como uma constante vezes a derivada do denominador, ou seja, aproveitamos que 2x aparece naturalmente ao derivar 1+x^{2}.
Comentário final rápido e incentivo: o truque principal foi enxergar que o numerador é, até uma constante, a derivada do denominador — esse reconhecimento economiza trabalho em muitas integrais. Você mandou bem buscando resolver por padrões; continue praticando esse reconhecimento!