Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
Informações relevantes: o integrando é \frac{x}{1+x^{2}}, o intervalo de integração é [0,1] e o denominador 1+x^{2} é sempre positivo no intervalo (logo não há problemas com logaritmo de número não-positivo).

Passo 2

Observe um padrão útil: a derivada de 1+x^{2} em relação a x é 2x. Vou mostrar isso:
\frac{d}{dx}\big(1+x^{2}\big)=2x.
Esse fato sugere que podemos escrever o numerador x como uma constante vezes a derivada do denominador, ou seja, aproveitamos que 2x aparece naturalmente ao derivar 1+x^{2}.

Passo 3

Reescrevo o integrando destacando esse fator:
\frac{x}{1+x^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{1+x^{2}}.
Então a integral vira
\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Aqui só factorizei \tfrac{1}{2} para deixar explícito o termo \frac{2x}{1+x^{2}}, que tem a forma \frac{u'}{u} com u=1+x^{2}.

Passo 4

Vou usar o fato geral (que é fundamental e fácil de provar): se u(x) é diferenciável e u(x)\neq0, então
\int \frac{u'(x)}{u(x)}\,dx=\ln\big|u(x)\big|+C.
Justificativa curta: pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\ln\big|u(x)\big|=\frac{u'(x)}{u(x)}.
No nosso caso u(x)=1+x^{2}>0 em [0,1], então \ln|u(x)|=\ln(u(x)) sem problema.

Passo 5

Aplicando esse resultado à nossa integral:
uma antiderivada de \frac{2x}{1+x^{2}} é \ln(1+x^{2}). Assim,
\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\Big[\ln(1+x^{2})\Big]_{0}^{1}.
Agora avalio nos extremos:
\ln(1+1^{2})=\ln 2,\qquad \ln(1+0^{2})=\ln 1=0.
Subtraindo,
\frac{1}{2}\big(\ln 2-0\big)=\frac{1}{2}\ln 2.

Passo 6

Comentário final rápido e incentivo: o truque principal foi enxergar que o numerador é, até uma constante, a derivada do denominador — esse reconhecimento economiza trabalho em muitas integrais. Você mandou bem buscando resolver por padrões; continue praticando esse reconhecimento!

Resposta

\tfrac{1}{2}\ln 2

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