9- Em uma empresa, o risco de alguém se acidentar é dado pela razão 1 em 30. Determine a probabilidade de ocorrer nessa empresa as seguintes situações relacionadas a 3 funcionários:
a) Todos se acidentarem.
b) Nenhum se acidentar.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede duas probabilidades. Informações fornecidas:
  • A razão (risco) de alguém se acidentar na empresa é de 1 em 30.
  • Queremos considerar 3 funcionários (ou seja, estamos olhando para três pessoas distintas).
Perguntas pedidas:
  • (a) Qual é a probabilidade de que todos os 3 funcionários se acidentem?
  • (b) Qual é a probabilidade de que nenhum dos 3 funcionários se acidente?

Passo 2

Vamos traduzir a informação em termos de probabilidade para cada funcionário:
  • Defina p como a probabilidade de um funcionário acidentar-se. A partir da razão dada, temos
p=\frac{1}{30}.
  • A probabilidade de um funcionário não se acidentar é então
1-p=1-\frac{1}{30}=\frac{29}{30}.
Explicação intuitiva (sem jargões): pense em cada funcionário como uma tentativa independente de “sucesso” quando o sucesso é o evento “acidentar-se”. A independência significa que o que acontece com um funcionário não altera a chance dos outros (o enunciado implícito permite essa suposição).

Passo 3

Modelo e fórmula que vamos usar:
  • Quando temos n ensaios independentes (aqui n=3) e cada um tem probabilidade p de “sucesso”, a probabilidade de exatamente k sucessos é dada pela fórmula da distribuição binomial:
\Pr(\text{exatamente }k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais k dentre os n são os que deram sucesso). Aqui \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}, e n! é fatorial, produto de todos inteiros positivos até n.
No nosso caso n=3. Para os itens pedidos usaremos k=3 (todos se acidentam) e k=0 (nenhum se acidenta). Note que \binom{3}{3}=1 e \binom{3}{0}=1.

Passo 4

Cálculo do item (a): todos os 3 se acidentarem.
  • Substituindo n=3, k=3 e p=\dfrac{1}{30} na fórmula:
\Pr(\text{todos 3})=\binom{3}{3}\left(\frac{1}{30}\right)^3\left(1-\frac{1}{30}\right)^{0}.
  • Como \binom{3}{3}=1 e \left(1-\dfrac{1}{30}\right)^{0}=1, sobra
\Pr(\text{todos 3})=\left(\frac{1}{30}\right)^3.

Passo 5

Continuando o cálculo numérico do item (a):
  • Calcule \left(\dfrac{1}{30}\right)^3=\dfrac{1}{30^3}.
  • Como 30^3=30\cdot30\cdot30=27\,000, temos
\Pr(\text{todos 3})=\frac{1}{27\,000}.
  • Aproximação decimal (útil para intuição): \dfrac{1}{27\,000}\approx 0,000037037.

Passo 6

Cálculo do item (b): nenhum dos 3 se acidentar.
  • Para k=0 usamos a fórmula binomial com n=3, k=0, p=\dfrac{1}{30}:
\Pr(\text{nenhum})=\binom{3}{0}\left(\frac{1}{30}\right)^0\left(1-\frac{1}{30}\right)^3.
  • Como \binom{3}{0}=1 e \left(\dfrac{1}{30}\right)^0=1, sobra
\Pr(\text{nenhum})=\left(\frac{29}{30}\right)^3.

Passo 7

Continuando o cálculo numérico do item (b):
  • Calcule 29^3. Primeiro 29^2=841. Depois 29^3=841\cdot29=24\,389.
  • Como 30^3=27\,000, temos
\left(\frac{29}{30}\right)^3=\frac{29^3}{30^3}=\frac{24\,389}{27\,000}.
  • Aproximação decimal: \dfrac{24\,389}{27\,000}\approx 0,903296296.

Resposta

(a) \dfrac{1}{27\,000}\approx 0,000037037
(b) \dfrac{24\,389}{27\,000}\approx 0,903296296

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