9- Em uma empresa, o risco de alguém se acidentar é dado pela razão 1 em 30. Determine a probabilidade de ocorrer nessa empresa as seguintes situações relacionadas a 3 funcionários:
a) Todos se acidentarem.
b) Nenhum se acidentar.
a) Todos se acidentarem.
b) Nenhum se acidentar.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede duas probabilidades. Informações fornecidas:
- A razão (risco) de alguém se acidentar na empresa é de
em . - Queremos considerar
funcionários (ou seja, estamos olhando para três pessoas distintas).
Perguntas pedidas:
- (a) Qual é a probabilidade de que todos os
funcionários se acidentem? - (b) Qual é a probabilidade de que nenhum dos
funcionários se acidente?
Passo 2
Vamos traduzir a informação em termos de probabilidade para cada funcionário:
- Defina
como a probabilidade de um funcionário acidentar-se. A partir da razão dada, temos
- A probabilidade de um funcionário não se acidentar é então
Explicação intuitiva (sem jargões): pense em cada funcionário como uma tentativa independente de “sucesso” quando o sucesso é o evento “acidentar-se”. A independência significa que o que acontece com um funcionário não altera a chance dos outros (o enunciado implícito permite essa suposição).
Passo 3
Modelo e fórmula que vamos usar:
- Quando temos
ensaios independentes (aqui ) e cada um tem probabilidade de “sucesso”, a probabilidade de exatamente sucessos é dada pela fórmula da distribuição binomial:
onde
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais
dentre os
são os que deram sucesso). Aqui
, e
é fatorial, produto de todos inteiros positivos até
.
No nosso caso
. Para os itens pedidos usaremos
(todos se acidentam) e
(nenhum se acidenta). Note que
e
.
Passo 4
Cálculo do item (a): todos os
se acidentarem.
- Substituindo
, e na fórmula:
- Como
e , sobra
Passo 5
Continuando o cálculo numérico do item (a):
- Calcule
. - Como
, temos
- Aproximação decimal (útil para intuição):
.
Passo 6
Cálculo do item (b): nenhum dos
se acidentar.
- Para
usamos a fórmula binomial com , , :
- Como
e , sobra
Passo 7
Continuando o cálculo numérico do item (b):
- Calcule
. Primeiro . Depois . - Como
, temos
- Aproximação decimal:
.
Resposta
(a)
(b)
(b)