Encontre a área da superfície descrita como sendo a parte do cilindro y^{2}+z^{2}=9 que está acima do retângulo
R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq x \leq 2,-3 \leq y \leq 3\right\}.
Escolha uma opção:
a. Nenhuma das Respostas ◯
b. \quad \backslash(\mid frac \{4 \mid pi \}\{3\} \mid)
c. \backslash(6 \backslash \mathrm{pi} \backslash)
d. $24$ ◯
e. \backslash(4 \mid sqrt \{6\} \backslash)

Passo 1

O enunciado pede a área da porção do cilindro y^{2}+z^{2}=9 que está “acima” do retângulo
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;0\le x\le 2,\;-3\le y\le 3\}.
Informações dadas:
  • A superfície é o cilindro circular de raio 3 definido por y^{2}+z^{2}=9.
  • O retângulo R está no plano xy e tem x variando de 0 a 2 e y variando de -3 a 3.
    Pergunta clara: qual é a área da parte do cilindro que fica sobre (verticalmente acima) esse retângulo? Observação importante (sem resolver ainda): para cada (x,y)\in R existem dois pontos do cilindro com essas coordenadas x,y, um com z\ge 0 e outro com z\le 0. Portanto é preciso decidir se “acima do retângulo” se refere apenas à folha superior ( z\ge0) ou a toda a superfície (ambas as folhas). Vou explicar e escolher a interpretação que leva a uma resposta compatível com as alternativas.

Passo 2

Interpretação e escolha do método:
  • "Acima do retângulo R" costuma significar a porção do cilindro cuja projeção vertical (sobre o plano xy) fica dentro de R. Essa projeção, para cada (x,y)\in R, atinge duas alturas z=\pm\sqrt{9-y^2}. Assim a projeção cobre a superfície inteira para 0\le x\le2.
  • Porém, muitas questões pedem apenas a parte “acima” no sentido de z\ge0 (a “folha superior”). Como uma das alternativas é \,6\pi e esse valor aparece naturalmente como a área da folha superior, vou adotar a interpretação "parte do cilindro com z\ge 0 cuja projeção está em R". Se fosse a superfície inteira (ambas as folhas) a área seria o dobro; no final eu explicitarei essa observação.
    Método escolhido: usar a fórmula de área de uma superfície dada como gráfico z=f(x,y) sobre uma região D do plano xy:
\text{Área}=\iint_{D}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA.Á
Essa é a técnica mais direta e elementar aqui porque a folha superior do cilindro é dado por z=f(y)=\sqrt{9-y^2} (não depende de x), e o domínio D é exatamente o retângulo R.

Passo 3

Expressar a folha superior do cilindro como gráfico:
A folha superior (onde z\ge0) é descrita por
z=f(x,y)=\sqrt{9-y^2},
com domínio
D=R=\{(x,y):0\le x\le2,\,-3\le y\le3\}.
Note que f não depende de x; isso simplifica as derivadas parciais.

Passo 4

Lembrando a fórmula de área para gráfico:
Se z=f(x,y) é diferenciável sobre D, então
\text{Área}=\iint_{D}\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}\,dA.Á
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} são as derivadas parciais de f; dA é o elemento de área no plano xy (ou seja dA=dx\,dy). Intuitivamente, o fator dentro da raiz corrige a área do elemento planar dA para a área inclinada da superfície.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais de f:
Como f(x,y)=\sqrt{9-y^2}=(9-y^2)^{1/2},
\frac{\partial f}{\partial x}=0
porque f não depende de x, e
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{2}(9-y^2)^{-1/2}\cdot(-2y)=-\frac{y}{\sqrt{9-y^2}}.

Passo 6

Montar o integrando da fórmula da área:
1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 =1+0+\frac{y^{2}}{9-y^{2}} =\frac{9-y^{2}+y^{2}}{9-y^{2}} =\frac{9}{9-y^{2}}.
Logo
\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}=\sqrt{\frac{9}{9-y^{2}}}=\frac{3}{\sqrt{9-y^{2}}}.

Passo 7

Escrever a integral dupla para a área da folha superior e separar as integrais (pois o integrando depende só de y):
\text{Área}_{\text{superior}}=\int_{x=0}^{2}\int_{y=-3}^{3}\frac{3}{\sqrt{9-y^{2}}}\,dy\,dx =\left(\int_{x=0}^{2}dx\right)\left(\int_{y=-3}^{3}\frac{3}{\sqrt{9-y^{2}}}\,dy\right).Á

Passo 8

Calcular a integral em y. Usamos a primitiva conhecida
\int\frac{1}{\sqrt{a^{2}-y^{2}}}\,dy=\arcsin\!\left(\frac{y}{a}\right)+C.
Com a=3,
\int_{-3}^{3}\frac{1}{\sqrt{9-y^{2}}}\,dy=\arcsin\!\left(\frac{y}{3}\right)\Big|_{y=-3}^{y=3}=\arcsin(1)-\arcsin(-1)=\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi.
Multiplicando pelo 3 que está no integrando obtemos
\int_{-3}^{3}\frac{3}{\sqrt{9-y^{2}}}\,dy=3\pi.

Passo 9

Concluir a área da folha superior:
\text{Área}_{\text{superior}}=\left(\int_{0}^{2}dx\right)\cdot 3\pi=(2)\cdot 3\pi=6\pi.Á

Passo 10

Observação final (importante): essa é a área da parte do cilindro com z\ge0 sobre R. Se a questão pedisse a área de toda a superfície do cilindro que projeta para R (ou seja, ambas as folhas z\ge0 e z\le0), então o resultado seria o dobro:
\text{Área}_{\text{total}}=2\cdot 6\pi=12\pi,Á
que não aparece entre as alternativas. Assim a alternativa correta entre as dadas é a que corresponde a 6\pi.

Resposta

c. \;6\pi

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