Encontre a área da superfície descrita como sendo a parte do cilindro y^{2}+z^{2}=9 que está acima do retângulo R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq x \leq 2,-3 \leq y \leq 3\right\}.
Escolha uma opção:
a. Nenhuma das Respostas ◯
b. \quad \backslash(\mid frac \{4 \mid pi \}\{3\} \mid) ◯
c. \backslash(6 \backslash \mathrm{pi} \backslash) ◯
d. $24$ ◯
e. \backslash(4 \mid sqrt \{6\} \backslash) ◯
Passo 1
O enunciado pede a área da porção do cilindro y^{2}+z^{2}=9 que está “acima” do retângulo
A superfície é o cilindro circular de raio 3 definido por y^{2}+z^{2}=9.
O retângulo R está no plano xy e tem x variando de 0 a 2 e y variando de -3 a 3.
Pergunta clara: qual é a área da parte do cilindro que fica sobre (verticalmente acima) esse retângulo? Observação importante (sem resolver ainda): para cada (x,y)\in R existem dois pontos do cilindro com essas coordenadas x,y, um com z\ge 0 e outro com z\le 0. Portanto é preciso decidir se “acima do retângulo” se refere apenas à folha superior (z\ge0) ou a toda a superfície (ambas as folhas). Vou explicar e escolher a interpretação que leva a uma resposta compatível com as alternativas.
Passo 2
Interpretação e escolha do método:
"Acima do retângulo R" costuma significar a porção do cilindro cuja projeção vertical (sobre o plano xy) fica dentro de R. Essa projeção, para cada (x,y)\in R, atinge duas alturas z=\pm\sqrt{9-y^2}. Assim a projeção cobre a superfície inteira para 0\le x\le2.
Porém, muitas questões pedem apenas a parte “acima” no sentido de z\ge0 (a “folha superior”). Como uma das alternativas é \,6\pi e esse valor aparece naturalmente como a área da folha superior, vou adotar a interpretação "parte do cilindro com z\ge 0 cuja projeção está em R". Se fosse a superfície inteira (ambas as folhas) a área seria o dobro; no final eu explicitarei essa observação.
Método escolhido: usar a fórmula de área de uma superfície dada como gráfico z=f(x,y) sobre uma região D do plano xy:
\text{Área}=\iint_{D}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA.
Essa é a técnica mais direta e elementar aqui porque a folha superior do cilindro é dado por z=f(y)=\sqrt{9-y^2} (não depende de x), e o domínio D é exatamente o retângulo R.
Passo 3
Expressar a folha superior do cilindro como gráfico:
A folha superior (onde z\ge0) é descrita por
z=f(x,y)=\sqrt{9-y^2},
com domínio
D=R=\{(x,y):0\le x\le2,\,-3\le y\le3\}.
Note que f não depende de x; isso simplifica as derivadas parciais.
Passo 4
Lembrando a fórmula de área para gráfico:
Se z=f(x,y) é diferenciável sobre D, então
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} são as derivadas parciais de f; dA é o elemento de área no plano xy (ou seja dA=dx\,dy). Intuitivamente, o fator dentro da raiz corrige a área do elemento planar dA para a área inclinada da superfície.
Passo 5
Calcular as derivadas parciais de f:
Como f(x,y)=\sqrt{9-y^2}=(9-y^2)^{1/2},
Observação final (importante): essa é a área da parte do cilindro com z\ge0 sobre R. Se a questão pedisse a área de toda a superfície do cilindro que projeta para R (ou seja, ambas as folhas z\ge0 e z\le0), então o resultado seria o dobro:
\text{Área}_{\text{total}}=2\cdot 6\pi=12\pi,Á
que não aparece entre as alternativas. Assim a alternativa correta entre as dadas é a que corresponde a 6\pi.