Determine se cada integral é convergente ou divergente e calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o seu valor. Informações relevantes dadas: o integrando é
e o intervalo de integração é
. A integral é imprópria porque o limite superior é infinito.
Passo 2
Vamos examinar o comportamento do integrando para
grande para decidir sobre a convergência. Intuitivamente, a parte exponencial
tende muito rapidamente a zero quando
, enquanto
cresce polinomialmente. Exponencial decrescente domina polinômio crescente, então esperamos convergência. Vou tornar isso preciso transformando a integral por substituição, o que também permitirá calcular seu valor em termos da função gama incompleta.
Passo 3
Faço a substituição
Calculo
. Como
, tem-se
Agora expressamos
em termos de
:
. Substituindo no integrando:
Os limites também mudam: quando
temos
; quando
temos
. Portanto a integral original se transforma em
Passo 4
Reconhecemos a integral à direita como uma integral do tipo utilizada na definição da função gama incompleta superior. Lembrando a definição da função gama incompleta superior:
para
e
. Aqui,
, logo podemos identificar
e
. Assim
Portanto
Passo 5
Agora justifico a convergência: a função gama incompleta
é finita para
e
, porque a integral
converge (o fator
faz a queda exponencial que domina qualquer crescimento polinomial
). No nosso caso
, logo
é finita e a integral converge. Outro modo de ver: para
grande temos
para alguma constante
, e
converge, provando a convergência por comparação.
Passo 6
Comentário sobre forma explícita: não existe antiderivada elementar de
, por isso a expressão exata da integral fica naturalmente em termos da função gama incompleta. Se você precisar de valor numérico, pode avaliar
numericamente e multiplicar por
.