Determine se cada integral é convergente ou divergente e calcule aquelas que são convergentes.
\int_{1}^{\infty} x^{4} e^{-x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x^{4} e^{-x^{4}}\,dx
é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o seu valor. Informações relevantes dadas: o integrando é x^{4} e^{-x^{4}} e o intervalo de integração é [1,\infty). A integral é imprópria porque o limite superior é infinito.

Passo 2

Vamos examinar o comportamento do integrando para x grande para decidir sobre a convergência. Intuitivamente, a parte exponencial e^{-x^{4}} tende muito rapidamente a zero quando x\to\infty, enquanto x^{4} cresce polinomialmente. Exponencial decrescente domina polinômio crescente, então esperamos convergência. Vou tornar isso preciso transformando a integral por substituição, o que também permitirá calcular seu valor em termos da função gama incompleta.

Passo 3

Faço a substituição
u = x^{4}.
Calculo du. Como u=x^{4}, tem-se
du = 4x^{3}\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{4x^{3}}.
Agora expressamos x em termos de u: x=u^{1/4}. Substituindo no integrando:
x^{4} e^{-x^{4}}\,dx = u\; e^{-u}\;\frac{du}{4u^{3/4}} = \frac{1}{4} u^{1/4} e^{-u}\,du.
Os limites também mudam: quando x=1 temos u=1^{4}=1; quando x\to\infty temos u\to\infty. Portanto a integral original se transforma em
\int_{1}^{\infty} x^{4} e^{-x^{4}}\,dx = \frac{1}{4}\int_{1}^{\infty} u^{1/4} e^{-u}\,du.

Passo 4

Reconhecemos a integral à direita como uma integral do tipo utilizada na definição da função gama incompleta superior. Lembrando a definição da função gama incompleta superior:
\Gamma(s,a)=\int_{a}^{\infty} t^{s-1} e^{-t}\,dt,
para s>0 e a\ge0. Aqui, u^{1/4}=u^{(5/4)-1}, logo podemos identificar s=\tfrac{5}{4} e a=1. Assim
\int_{1}^{\infty} u^{1/4} e^{-u}\,du = \Gamma\!\left(\tfrac{5}{4},1\right).
Portanto
\int_{1}^{\infty} x^{4} e^{-x^{4}}\,dx = \frac{1}{4}\,\Gamma\!\left(\tfrac{5}{4},1\right).

Passo 5

Agora justifico a convergência: a função gama incompleta \Gamma(s,a) é finita para s>0 e a\ge0, porque a integral
\int_{a}^{\infty} t^{s-1} e^{-t}\,dt
converge (o fator e^{-t} faz a queda exponencial que domina qualquer crescimento polinomial t^{s-1}). No nosso caso s=\tfrac{5}{4}>0, logo \Gamma\!\left(\tfrac{5}{4},1\right) é finita e a integral converge. Outro modo de ver: para u grande temos u^{1/4} e^{-u}\le C e^{-u/2} para alguma constante C, e \int_{1}^{\infty} e^{-u/2}\,du converge, provando a convergência por comparação.

Passo 6

Comentário sobre forma explícita: não existe antiderivada elementar de e^{-x^{4}}, por isso a expressão exata da integral fica naturalmente em termos da função gama incompleta. Se você precisar de valor numérico, pode avaliar \Gamma\!\left(\tfrac{5}{4},1\right) numericamente e multiplicar por 1/4.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\,\Gamma\!\left(\tfrac{5}{4},1\right)

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