Calcule as seguintes integrais definidas (2,0) :
\int_{1}^{2}\left(x^{2}-10\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\left(x^{2}-10\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O intervalo de integração é de 1 até 2.
  • A função integranda é f(x)=x^{2}-10.

Passo 2

O que significa calcular essa integral? Vou explicar com calma.
  • A integral definida \int_{a}^{b} f(x)\,dx dá a “área algébrica” sob a curva f(x) entre x=a e x=b: áreas acima do eixo x contam positivas e abaixo contam negativas.
  • Para calcular numericamente usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva (antiderivada) de f, isto é, F'(x)=f(x), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
  • Portanto precisamos encontrar uma primitiva F(x) de f(x)=x^{2}-10 e depois avaliar F(2)-F(1).

Passo 3

Como encontrar a primitiva de f(x)=x^{2}-10? Usamos regras básicas de integração:
  • Regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui, para x^{2} com n=2,
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
  • Regra da constante: para constante a,
\int a\,dx = a x + C.
Aqui \int (-10)\,dx = -10x.
Somando as primitivas termo a termo (já que integral é linear), uma primitiva de f é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-10x.

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{1}^{2}\left(x^{2}-10\right)\,dx = F(2)-F(1).
Calcule F(2) e F(1).
Calcular F(2):
F(2)=\frac{2^{3}}{3}-10\cdot 2=\frac{8}{3}-20.
Colocando na mesma fração:
\frac{8}{3}-20=\frac{8-60}{3}=-\frac{52}{3}.
Calcular F(1):
F(1)=\frac{1^{3}}{3}-10\cdot 1=\frac{1}{3}-10.
Colocando na mesma fração:
\frac{1}{3}-10=\frac{1-30}{3}=-\frac{29}{3}.

Passo 5

Subtrair F(2)-F(1):
F(2)-F(1) = -\frac{52}{3} -\left(-\frac{29}{3}\right) = -\frac{52}{3}+\frac{29}{3} = -\frac{23}{3}.

Passo 6

Interpretação rápida para conferir: a integranda x^{2}-10 é negativa em todo o intervalo [1,2] (por exemplo 1^{2}-10=-9 e 2^{2}-10=-6), então faz sentido que a integral seja negativa. O valor numérico é -\dfrac{23}{3}, que em decimal é aproximadamente -7{,}666\ldots.

Resposta

-\dfrac{23}{3}

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