Calcule as seguintes Integrais impróprias indicando se há convergência ( 1,0 )
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria e dizer se ela converge ou diverge. A integral dada é
Informações relevantes fornecidas:
- O intervalo de integração é
(limite superior infinito). - A função integranda é
, que está bem definida e contínua para todo .
Passo 2
O que significa tratar essa integral como “imprópria”: quando o intervalo de integração é infinito, define-se a integral como um limite de integrais próprias. Formalmente,
Aqui
é uma variável que tende para o infinito; a integral converge se esse limite existir e for finito.
Passo 3
Vou então calcular a integral própria
e depois tomar
. Escrevo:
Passo 4
Calcular a primitiva (antiderivada) usando a regra da potência: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
da integranda,
Expliquei:
.
Passo 5
Avalio a integral própria entre
e
:
Passo 6
Agora tomo o limite quando
:
Como o limite é infinito, a integral imprópria não é finita — ela diverge (vai para
).
Passo 7
Comentário didático rápido (útil na prova): essa integral é do tipo
. Há um teste rápido (teste-p): essa integral converge se, e somente se,
. No caso presente temos
, então esperávamos divergência. É um atalho prático para verificar sem calcular a primitiva, mas fiz a conta completa aqui para mostrar o processo.
Resposta
A integral diverge:
.