Calcule as seguintes Integrais impróprias indicando se há convergência ( 1,0 )
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria e dizer se ela converge ou diverge. A integral dada é
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • O intervalo de integração é [1,\infty) (limite superior infinito).
  • A função integranda é \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}, que está bem definida e contínua para todo x\ge 1.

Passo 2

O que significa tratar essa integral como “imprópria”: quando o intervalo de integração é infinito, define-se a integral como um limite de integrais próprias. Formalmente,
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx \;=\; \lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b} \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx.
Aqui b é uma variável que tende para o infinito; a integral converge se esse limite existir e for finito.

Passo 3

Vou então calcular a integral própria \int_{1}^{b} \frac{1}{2}x^{-1/2}\,dx e depois tomar b\to\infty. Escrevo:
\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b} \frac{1}{2}x^{-1/2}\,dx.

Passo 4

Calcular a primitiva (antiderivada) usando a regra da potência: para \alpha\neq -1,
\int x^{\alpha}\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C.
Aqui \alpha=-\tfrac{1}{2}, então
\int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1}=\frac{x^{1/2}}{1/2}=2x^{1/2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} da integranda,
\int \frac{1}{2}x^{-1/2}\,dx=\frac{1}{2}\cdot 2x^{1/2}=x^{1/2}.
Expliquei: x^{1/2}=\sqrt{x}.

Passo 5

Avalio a integral própria entre 1 e b:
\int_{1}^{b} \frac{1}{2}x^{-1/2}\,dx=\bigl[x^{1/2}\bigr]_{1}^{b}=\sqrt{b}-\sqrt{1}=\sqrt{b}-1.

Passo 6

Agora tomo o limite quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty}(\sqrt{b}-1)=\infty.
Como o limite é infinito, a integral imprópria não é finita — ela diverge (vai para +\infty).

Passo 7

Comentário didático rápido (útil na prova): essa integral é do tipo \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx. Há um teste rápido (teste-p): essa integral converge se, e somente se, p>1. No caso presente temos p=\tfrac{1}{2}<1, então esperávamos divergência. É um atalho prático para verificar sem calcular a primitiva, mas fiz a conta completa aqui para mostrar o processo.

Resposta

A integral diverge: \displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx = +\infty.

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