Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sec} ^{2}\left(\frac{t}{4}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sec}^{2}\!\bigl(\tfrac{t}{4}\bigr)\,dt.
O conteúdo envolvido é a antiderivada de \operatorname{sec}^{2}(u), que é \tan(u), e uma mudança de variável para lidar com o argumento \tfrac{t}{4}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \frac{t}{4}, \quad du = \frac{1}{4}\,dt \quad\Longrightarrow\quad dt = 4\,du.
Quando t=0, u=0. Quando t=\pi, u=\tfrac{\pi}{4}. Assim,
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sec}^{2}\!\bigl(\tfrac{t}{4}\bigr)\,dt = \int_{u=0}^{u=\pi/4} \operatorname{sec}^{2}(u)\,\bigl(4\,du\bigr) = 4 \int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.

Passo 3

Sabendo que
\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \tan(u),
temos
4 \int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = 4\bigl[\tan(u)\bigr]_{0}^{\pi/4} = 4\bigl(\tan(\tfrac{\pi}{4}) - \tan(0)\bigr) = 4\bigl(1 - 0\bigr) = 4.

Resposta

O valor da integral é 4.

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