Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{\pi / 2} \cos t \operatorname{sen}(\operatorname{sen} t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int_{0}^{\pi/2} \cos t \,\sin\bigl(\sin t\bigr)\,dt.
O conteúdo aqui é integração por substituição (regra da cadeia invertida): se a derivada de \sin t é \cos t, podemos simplificar.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin t, \quad du = \cos t\,dt.
Quando t=0, u=\sin0=0. Quando t=\pi/2, u=\sin(\pi/2)=1. Logo
I = \int_{0}^{1} \sin(u)\,du.

Passo 3

Agora encontramos a antiderivada de \sin(u). Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl(-\cos u\bigr) = \sin u,
portanto
\int \sin(u)\,du = -\cos u + C.

Passo 4

Avaliamo a integral definida de 0 a 1:
I = \bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{1} = \bigl(-\cos1\bigr) - \bigl(-\cos0\bigr) = -\cos1 + 1 = 1 - \cos1.

Resposta

1 - \cos(1)

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