Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{1} x(1-x)^{10} d x

Passo 1

Resumindo: queremos computar
\int_{0}^{1} x(1-x)^{10}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a integral beta, que envolve a função \mathrm{B}(p,q) ou função gamma.

Passo 2

Observamos que
x(1-x)^{10} = x^{2-1}(1-x)^{11-1},
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\int_{0}^{1} x(1-x)^{10}\,dx = \mathrm{B}(2,11).

Passo 3

A função beta satisfaz
\mathrm{B}(p,q) = \frac{\Gamma(p)\,\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)},
e para inteiro positivo n vale \Gamma(n)=(n-1)!.

Passo 4

Aplicando isso:
\mathrm{B}(2,11) = \frac{\Gamma(2)\,\Gamma(11)}{\Gamma(13)} = \frac{1!\cdot 10!}{12!} = \frac{10!}{12\times 11\times 10!} = \frac{1}{132}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{132}

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