Calcule as seguintes integrais definidas.
\int_{\theta / 4}^{3 \theta / 8} \operatorname{sec} t(\operatorname{sec} t+\tan t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\theta/4}^{3\theta/8} \operatorname{sec} t \,(\operatorname{sec} t + \tan t)\,dt.
Este é um problema de integração de funções trigonométricas. Vamos precisar das derivadas conhecidas
\frac{d}{dt}\tan t = \operatorname{sec}^2 t e \frac{d}{dt}\operatorname{sec} t = \operatorname{sec} t\,\tan t, além do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, expandimos o integrando:
\operatorname{sec} t\,(\operatorname{sec} t + \tan t) = \operatorname{sec}^2 t + \operatorname{sec} t\,\tan t.

Passo 3

Repare que
\frac{d}{dt}\bigl(\tan t + \operatorname{sec} t\bigr) = \frac{d}{dt}\tan t + \frac{d}{dt}\operatorname{sec} t = \operatorname{sec}^2 t + \operatorname{sec} t\,\tan t.
Logo, \operatorname{sec}^2 t + \operatorname{sec} t\,\tan t é a derivada de \tan t + \operatorname{sec} t. Portanto, uma antiderivada de \operatorname{sec} t(\operatorname{sec} t+\tan t) é \tan t + \operatorname{sec} t.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos
\int_{\theta/4}^{3\theta/8} \operatorname{sec} t\,(\operatorname{sec} t + \tan t)\,dt = \bigl[\tan t + \operatorname{sec} t\bigr]_{t=\theta/4}^{t=3\theta/8} = \bigl(\tan\tfrac{3\theta}{8} + \operatorname{sec}\tfrac{3\theta}{8}\bigr) - \bigl(\tan\tfrac{\theta}{4} + \operatorname{sec}\tfrac{\theta}{4}\bigr).

Resposta

\tan\tfrac{3\theta}{8} + \operatorname{sec}\tfrac{3\theta}{8} \;-\;\tan\tfrac{\theta}{4} - \operatorname{sec}\tfrac{\theta}{4}.

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