Calcule as seguintes integrais definidas.
\int_{2 \pi}^{5 \pi} \cos ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{2\pi}^{5\pi} \cos^{2}x \,dx.
O conteúdo envolvido é integração de função trigonométrica. Vamos usar a identidade do ângulo duplo para transformar \cos^{2}x em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\cos^{2}x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}.
Logo, a integral vira
\int_{2\pi}^{5\pi} \cos^{2}x \,dx = \int_{2\pi}^{5\pi} \frac{1 + \cos(2x)}{2}\,dx = \frac12\int_{2\pi}^{5\pi}1\,dx \;+\;\frac12\int_{2\pi}^{5\pi}\cos(2x)\,dx.

Passo 3

Calculamos antiderivadas separadamente:
– Para \displaystyle \int1\,dx, a antiderivada é x.
– Para \displaystyle \int\cos(2x)\,dx, uma primitiva é \tfrac{\sin(2x)}{2}.
Portanto, uma antiderivada comum F(x) da nossa integral é
F(x) = \frac12\,x + \frac12\cdot\frac{\sin(2x)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4}.

Passo 4

Agora avaliamos F nos limites 2\pi e 5\pi:
F(5\pi) = \frac{5\pi}{2} + \frac{\sin(10\pi)}{4} = \frac{5\pi}{2} + 0 = \frac{5\pi}{2},
F(2\pi) = \frac{2\pi}{2} + \frac{\sin(4\pi)}{4} = \pi + 0 = \pi.

Passo 5

Subtraindo F(2\pi) de F(5\pi), obtemos
\int_{2\pi}^{5\pi}\cos^{2}x\,dx = F(5\pi) - F(2\pi) = \frac{5\pi}{2} - \pi = \frac{5\pi - 2\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}.

Resposta

\frac{3\pi}{2}

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