Encontre y^{\prime} derivando implicatamente.
e^{y} \operatorname{sen} x=x+x y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
e^y \sin x = x + x\,y
e pede \,y'=\frac{dy}{dx}. O conteúdo exige usar a regra do produto, a derivada de e^y pela chain rule, a derivada de \sin x e a derivada do produto x\,y.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, aplicamos a regra do produto a e^y\sin x:
\frac{d}{dx}\bigl(e^y\sin x\bigr) = \frac{d}{dx}(e^y)\,\sin x + e^y\,\frac{d}{dx}(\sin x) = e^y\,y'\,\sin x + e^y\cos x.
No lado direito, diferenciamos x + x\,y, usando regra do produto em x\,y:
\frac{d}{dx}(x + x\,y) = 1 + \bigl(1\cdot y + x\cdot y'\bigr) = 1 + y + x\,y'.

Passo 3

Igualando as duas derivadas, obtemos
e^y\,y'\,\sin x + e^y\cos x = 1 + y + x\,y'.
Agora isolamos os termos com y':
e^y\sin x\,y' - x\,y' = 1 + y - e^y\cos x,
y'\bigl(e^y\sin x - x\bigr) = 1 + y - e^y\cos x.
Portanto,
y' = \frac{1 + y - e^y\cos x}{e^y\sin x - x}.

Resposta

y' = \frac{1 + y - e^y\cos x}{e^y\sin x - x}.

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