Encontre o limite. Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{1-\cos x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0}\frac{x^2}{1-\cos x}.
Se substituirmos x=0, obtemos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}, então podemos usar a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Aplicamos a primeira vez a regra de l’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a x, ficando
\lim_{x\to0}\frac{x^2}{1-\cos x} = \lim_{x\to0}\frac{2x}{\sin x}.
Ainda temos a forma \tfrac{0}{0}, então repetimos o procedimento.

Passo 3

Reaplicando l’Hôpital, derivamos novamente numerador e denominador:
\lim_{x\to0}\frac{2x}{\sin x} = \lim_{x\to0}\frac{2}{\cos x} = \frac{2}{\cos0} = 2.

Resposta

2

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