(\operatorname{sen} t) y^{\prime}+(\cos t) y=e^{t}, y(1)=a, 0<t<\pi

Passo 1

Resumimos o enunciado: temos a equação diferencial de primeira ordem linear (\sin t)\,y' + (\cos t)\,y = e^t
com condição inicial y(1)=a em 0<t<\pi. Vamos resolver usando fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo ambos os lados por \sin t:
y' + \frac{\cos t}{\sin t}\,y = \frac{e^t}{\sin t}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\Bigl(\int \frac{\cos t}{\sin t}\,dt\Bigr) = \exp(\ln|\sin t|)=\sin t.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(t)=\sin t, o lado esquerdo torna-se a derivada do produto:
(\sin t\,y)' = e^t.

Passo 5

Integramos em relação a t:
\sin t\,y = \int e^t\,dt = e^t + C.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=a:
\sin(1)\,a = e^1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = a\,\sin(1) - e.

Passo 7

Substituindo C na solução geral, obtemos
y(t) = \frac{e^t + C}{\sin t} = \frac{e^t + a\,\sin(1) - e}{\sin t}.

Resposta

y(t) = \frac{e^t + a\,\sin(1) - e}{\sin t}.

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