Calcule as seguintes integrais definidas: integral0^1 1+t^2t^4 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^1 1+t^2t^4,dt. O conteúdo é de integrais impróprias, já que o integrando fica singular em t=0. Vamos precisar verificar convergência e achar a antiderivada.

Passo 2

Para facilitar, escrevemos o integrando como soma de potências: 1+t^2t^4 = t^-4 + t^-2. Assim a integral se separa em integral0^1 t^-4 ,dt + integral0^1 t^-2 ,dt.

Passo 3

Calculamos as antiderivadas:
integral t^-4 ,dt = -13t^-3 + C,
integral t^-2 ,dt = -t^-1 + C
Logo a primitiva conjunta é F(t)= -13t^3 - 1t.

Passo 4

Como a integral é imprópria no limite inferior, usamos limvarepsilonto0^+ integralvarepsilon^1(t^-4+t^-2),dt = limvarepsilonto0^+[F(1)-F(varepsilon)]. Substituindo:
F(1)-F(varepsilon)=l(-tfrac13-1r)-l(-tfrac13varepsilon^3-tfrac1varepsilonr)= -tfrac43+tfrac13varepsilon^3+tfrac1varepsilon
Quando varepsilonto0^+, os termos 1/(3varepsilon^3) e 1/varepsilon vão a +infty, mostrando que a integral diverge.

Passo 5

Como a parte mais singular integral0^1t^-4dt já diverge, concluímos que integral0^1 1+t^2t^4,dt é divergente e não possui valor finito.

Resposta

A integral é divergente (vai para +∞).

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